ギターの弦を弾くと、美しい音が響きます。弦の長さ、太さ、張力──これらを変えると音の高さが変わることは、経験的に知っているかもしれません。
なぜそうなるのでしょうか。その答えは、弦の両端が固定されているという境界条件が、特定の波長の波だけを許すからです。
この記事では、弦の固有振動を定在波の考え方から理解し、振動数を決める公式を導きます。
ギターやバイオリンの弦は、両端が固定されています。弦を弾くと波が生じ、両端で反射を繰り返します。反射した波と元の波が重なり合って、やがて定在波（定常波）ができます。
たとえるなら、縄跳びの両端を2人で持って上下に振るイメージです。振り方のリズムがちょうどよいと、縄の形が止まって見える──これが定在波です。
弦の両端は壁に固定されているので、振動できません。したがって、定在波の節（振動しない点）が必ず両端にきます。
この「両端が節」という境界条件が、弦に生じうる定在波のパターンを制限し、特定の振動数だけが許されることになります。
定在波では、大きく振動する点を腹、全く振動しない点を節と呼びます。隣り合う節と節の間隔は半波長 $\dfrac{\lambda}{2}$ に等しいことを確認しておきましょう。
✕ 誤：大きく振動する点が「節」で、動かない点が「腹」
○ 正：動かない点が「節」（node）、大きく振動する点が「腹」（antinode）
「節」は結び目、動かない場所と覚えましょう。竹の「ふし」のように、しっかり固定された箇所です。
弦の長さを $L$ とします。両端が節であるという条件から、弦に生じる定在波の波長は次のように決まります。
最もシンプルな定在波は、弦全体が1つの「腹」を持つパターンです。このとき節は両端の2つだけです。節と節の間隔が $L$ なので、
$$\frac{\lambda_1}{2} = L \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = 2L$$
これを基本振動と呼びます。基本振動の振動数 $f_1$ を基本振動数（または基本音）といいます。
弦の中央にもう1つ節ができるパターンです。腹が2つ、節が3つ（両端 + 中央）になります。
$$2 \times \frac{\lambda_2}{2} = L \quad \Rightarrow \quad \lambda_2 = L$$
節と節の間隔 $\dfrac{\lambda_n}{2}$ が弦の長さ $L$ の中にちょうど $n$ 個入るパターンが $n$ 倍振動です。
$$n \times \frac{\lambda_n}{2} = L \quad \Rightarrow \quad \lambda_n = \frac{2L}{n}$$
弦の両端が節であるための条件は、弦の長さ $L$ の中に半波長 $\dfrac{\lambda}{2}$ がちょうど整数個（$n$ 個）入ることです。
$$L = n \times \frac{\lambda}{2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$
これを $\lambda$ について解くと、
$$\lambda_n = \frac{2L}{n}$$
| 振動モード | 腹の数 | 節の数 | 波長 $\lambda_n$ | 振動数 |
|---|---|---|---|---|
| 基本振動（$n=1$） | 1 | 2 | $2L$ | $f_1$ |
| 2倍振動（$n=2$） | 2 | 3 | $L$ | $2f_1$ |
| 3倍振動（$n=3$） | 3 | 4 | $\frac{2L}{3}$ | $3f_1$ |
| $n$ 倍振動 | $n$ | $n+1$ | $\frac{2L}{n}$ | $nf_1$ |
$n$ 倍振動の振動数は $f_n = nf_1$ と表されます。つまり、弦の固有振動数は基本振動数の1倍、2倍、3倍、... という整数倍の系列をなします。
これが弦楽器が美しい和音を出せる物理的な理由です。倍音が基本音の整数倍に並ぶため、音の重ね合わせが心地よく響くのです。
$n$ 倍振動では腹が $n$ 個、節が $n + 1$ 個です。「腹の数 = $n$」であって「節の数 = $n$」ではありません。
✕ 誤：3倍振動は節が3個
○ 正：3倍振動は腹が3個、節が4個（両端を含む）
弦を伝わる波の速さ $v$ と、波長 $\lambda_n$ がわかれば、固有振動数 $f_n$ を求めることができます。
弦を伝わる横波の速さは、弦の張力 $S$ と線密度 $\rho$（単位長さあたりの質量）によって決まります。
$$v = \sqrt{\frac{S}{\rho}}$$
直感的に理解しましょう。張力が大きい（ピンと張った弦）ほど波は速く伝わり、線密度が大きい（太い弦）ほど波は遅くなります。ゴムひもを強く引っ張って弾くと、振動が速くなるのと同じ感覚です。
$v = f\lambda$ と $\lambda_n = \dfrac{2L}{n}$ を組み合わせると、
$$f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{n}{2L} v = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{S}{\rho}}$$
波の基本式 $v = f\lambda$ より $f = \dfrac{v}{\lambda}$ です。
$n$ 倍振動の波長は $\lambda_n = \dfrac{2L}{n}$ ですから、
$$f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{v}{\dfrac{2L}{n}} = \frac{nv}{2L}$$
ここに $v = \sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$ を代入すると、
$$f_n = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{S}{\rho}}$$
弦を伝わる波の速さ $v = \sqrt{S/\rho}$ と、空気中の音速 $V = 340\,\text{m/s}$ は全く別の量です。
✕ 誤：弦の振動数を求めるのに音速 $340\,\text{m/s}$ を使う
○ 正：弦の振動数は弦を伝わる波の速さ $v$ を使って求める。空気中の音速は、弦から出た音の波長を求めるときに使う
弦の振動数 = 弦から出る音の振動数です。しかし波長は異なります。弦の振動で生じた振動数 $f$ の音が空気中に伝わるとき、その音の波長は $\lambda_{\text{air}} = V / f$ で求まります。
弦の振動数 $f$ と、弦上の定在波の波長 $\lambda_{\text{string}}$ は弦の上での話です。
その振動が空気を揺らして音波になると、振動数 $f$ は保存されますが、波長は空気中の音速で決まり直します：$\lambda_{\text{air}} = V / f$。
問題で「弦から出る音の波長」を聞かれたら、音速 $V$ を使うことを忘れないでください。
固有振動数の公式 $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$ から、弦の音の高さ（基本振動数）を変えるには3つの方法があることがわかります。
$f_1 \propto \dfrac{1}{L}$ ですから、弦を短くすると振動数が大きくなり、高い音が出ます。ギターのフレットを押さえるのがこれにあたります。
$f_1 \propto \sqrt{S}$ ですから、弦を強く張ると振動数が大きくなります。ギターの糸巻き（ペグ）で調弦するのがこの方法です。
$f_1 \propto \dfrac{1}{\sqrt{\rho}}$ ですから、細い（軽い）弦ほど振動数が大きくなります。ギターの1弦（高い音）が細く、6弦（低い音）が太いのはこの原理です。
振動数は張力の平方根に比例します。
✕ 誤：張力を2倍にすると振動数は2倍
○ 正：張力を2倍にすると振動数は $\sqrt{2} \approx 1.41$ 倍
振動数を2倍にするには、張力を4倍にする必要があります。
弦の振動数に関する3つの関係をまとめてメルセンヌの法則と呼びます。17世紀のフランスの数学者マラン・メルセンヌが実験的に発見しました。
(1) 振動数は弦の長さに反比例する：$f \propto 1/L$
(2) 振動数は張力の平方根に比例する：$f \propto \sqrt{S}$
(3) 振動数は線密度の平方根に反比例する：$f \propto 1/\sqrt{\rho}$
これらはすべて $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$ から読み取れます。
弦の固有振動は、定在波の考え方を弦に適用した結果です。同じ原理が気柱の共鳴にもつながります。
Q1. 長さ $L$ の弦の基本振動の波長を求めてください。
Q2. 弦の3倍振動では、腹と節はそれぞれ何個ですか。
Q3. 弦の基本振動数が $200\,\text{Hz}$ のとき、4倍振動の振動数を求めてください。
Q4. 弦の張力を4倍にすると、基本振動数は何倍になりますか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
長さ $0.60\,\text{m}$ の弦を伝わる波の速さが $240\,\text{m/s}$ であるとき、次の問いに答えよ。
(1) 基本振動の波長と振動数を求めよ。
(2) 3倍振動の波長と振動数を求めよ。
(1) $\lambda_1 = 1.2\,\text{m}$、$f_1 = 200\,\text{Hz}$
(2) $\lambda_3 = 0.40\,\text{m}$、$f_3 = 600\,\text{Hz}$
(1) $\lambda_1 = 2L = 2 \times 0.60 = 1.2\,\text{m}$
$f_1 = v / \lambda_1 = 240 / 1.2 = 200\,\text{Hz}$
(2) $\lambda_3 = 2L/3 = 1.2/3 = 0.40\,\text{m}$
$f_3 = 3f_1 = 3 \times 200 = 600\,\text{Hz}$
長さ $0.50\,\text{m}$、線密度 $4.0 \times 10^{-3}\,\text{kg/m}$ の弦を張力 $100\,\text{N}$ で張った。次の問いに答えよ。
(1) 弦を伝わる波の速さを求めよ。
(2) 基本振動数を求めよ。
(3) この弦の基本振動により空気中（音速 $340\,\text{m/s}$）に生じる音の波長を求めよ。
(1) $v \approx 158\,\text{m/s}$
(2) $f_1 \approx 158\,\text{Hz}$
(3) $\lambda_{\text{air}} \approx 2.15\,\text{m}$
(1) $v = \sqrt{S/\rho} = \sqrt{100 / (4.0 \times 10^{-3})} = \sqrt{25000} \approx 158\,\text{m/s}$
(2) $f_1 = v / (2L) = 158 / (2 \times 0.50) = 158 / 1.0 = 158\,\text{Hz}$
(3) 弦の振動数 $f_1 = 158\,\text{Hz}$ の音が空気中に伝わる。 $\lambda_{\text{air}} = V / f_1 = 340 / 158 \approx 2.15\,\text{m}$
弦Aは長さ $L$、張力 $S$、線密度 $\rho$ で基本振動している。弦Bは長さ $2L$、張力 $4S$、線密度 $\rho$ で基本振動している。次の問いに答えよ。
(1) 弦Aの基本振動数 $f_A$ を $L$、$S$、$\rho$ を用いて表せ。
(2) 弦Bの基本振動数 $f_B$ を $f_A$ を用いて表せ。
(3) 弦Bが弦Aと同じ基本振動数になるためには、弦Bの張力を何倍にすればよいか。
(1) $f_A = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$
(2) $f_B = f_A$
(3) そのまま（1倍）でよい（既に同じ振動数）
(1) $f_A = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$（公式に代入）
(2) $f_B = \dfrac{1}{2 \times 2L}\sqrt{\dfrac{4S}{\rho}} = \dfrac{1}{4L} \times 2\sqrt{\dfrac{S}{\rho}} = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}} = f_A$
弦の長さが2倍になると振動数は $1/2$ 倍になりますが、張力が4倍になると振動数は $\sqrt{4} = 2$ 倍になるため、$1/2 \times 2 = 1$ で打ち消し合い、同じ振動数になります。
(3) 既に $f_B = f_A$ なので、張力を変える必要はなく、1倍（そのまま）です。