共鳴管実験は入試で最も出題頻度の高い実験問題の1つです。
水面を閉端として管の実効長を変え、音さの振動数から波長・音速・開口端補正を求めます。
また、弦の振動と気柱の共鳴を組み合わせた融合問題も頻出です。ここでは解法のパターンを身につけましょう。
共鳴管実験では、一端が閉じた管（閉管）の水面の位置を変えることで、管の実効的な長さを連続的に調節します。管の開口端で音さを鳴らし、音が強まる位置（共鳴する位置）を見つけます。
ガラス管を水槽に立て、水面の高さを変えられるようにします。管の上端が開口端、水面が閉端に相当します。
つまりこれは閉管の共鳴実験です。
共鳴管実験は閉管の共鳴を利用する。水面（閉端）を下げていくと、気柱が長くなり、次の共鳴条件を満たす長さで音が強まる。2つ以上の共鳴点を使えば、開口端補正を消去して波長を正確に求められる。
水面を上から徐々に下げていくと、最初に音が大きくなる位置（第1共鳴点）と、さらに下げて次に音が大きくなる位置（第2共鳴点）が見つかります。
最も基本的かつ頻出のパターンです。
$$\lambda = 2(L_2 - L_1)$$
$L_1$：第1共鳴点の気柱の長さ、$L_2$：第2共鳴点の気柱の長さ。$\Delta$ が消去される。
$L_1 + \Delta = \dfrac{\lambda}{4}$ … ①
$L_2 + \Delta = \dfrac{3\lambda}{4}$ … ②
② − ① ：$L_2 - L_1 = \dfrac{3\lambda}{4} - \dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{\lambda}{2}$
$\therefore \lambda = 2(L_2 - L_1)$
波長が分かったら、①式に代入して $\Delta$ を求めます。
$$\Delta = \frac{\lambda}{4} - L_1$$音さの振動数 $f$ が分かっていれば：
$$v = f\lambda = 2f(L_2 - L_1)$$第 $k$ 番目の共鳴点の気柱の長さを $L_k$ とすると、隣り合う共鳴点の差はすべて $\dfrac{\lambda}{2}$ に等しい。
$L_2 - L_1 = L_3 - L_2 = L_4 - L_3 = \cdots = \dfrac{\lambda}{2}$
複数の差の平均をとることで、精度よく $\lambda$ を決定できます。
誤：第2共鳴点 = 第2倍振動
正：第1共鳴点 = 基本振動（第1倍）、第2共鳴点 = 第3倍振動、第3共鳴点 = 第5倍振動。閉管なので奇数倍のみ。
入試では、弦の振動数と気柱の共鳴振動数を等しいとおく問題がよく出ます。
弦を弾いて出た音の振動数と、管の共鳴振動数が一致するとき、管が共鳴します。
弦の振動数 $= $ 気柱の共鳴振動数
$$\frac{n_{\text{弦}} v_{\text{弦}}}{2L_{\text{弦}}} = \frac{(2m-1) v_{\text{音}}}{4L_{\text{管}}} \quad \text{（閉管の場合）}$$
弦を伝わる波の速さ $v_{\text{弦}} = \sqrt{S/\rho}$（$S$：張力、$\rho$：線密度）と、空気中の音速 $v_{\text{音}}$ は異なる量であることに注意。
誤：弦と気柱の $v$ は同じ
正：弦を伝わる横波の速さ $v_{\text{弦}} = \sqrt{S/\rho}$ と、空気中の音速 $v_{\text{音}} \approx 340\,\text{m/s}$ は全く別。弦が出す「音の振動数」は弦の振動数と等しいが、波の速さは異なる。
弦の振動→空気中の音→気柱の共鳴。このとき波長は系ごとに異なりますが、振動数は変わりません。
弦で $\lambda_{\text{弦}} \cdot f = v_{\text{弦}}$、空気中で $\lambda_{\text{音}} \cdot f = v_{\text{音}}$。$f$ は共通です。
共鳴の問題は、結局「境界条件 → 共鳴条件 → $v = f\lambda$」の3ステップに帰着する。管の種類と開口端補正の有無を正しく把握すれば、あとは機械的に計算できる。
| 出題パターン | 使う公式 | 求めるもの |
|---|---|---|
| 共鳴管実験（基本） | $\lambda = 2(L_2 - L_1)$ | 波長・音速・$\Delta$ |
| 開管の倍音列挙 | $f_n = \dfrac{nv}{2L}$ | 共鳴振動数の個数 |
| 閉管の倍音列挙 | $f_m = \dfrac{(2m-1)v}{4L}$ | 共鳴振動数の個数 |
| 弦＋気柱の融合 | $f_{\text{弦}} = f_{\text{気柱}}$ | 管の長さ・弦の張力 |
| 温度変化 | $v = 331.5 + 0.6t$ | 振動数の変化 |
共鳴の典型問題は、これまでの知識の総合的な応用です。
Q1. 共鳴管実験では管はどのタイプ（開管・閉管）として扱うか。
Q2. 第1共鳴点 $L_1 = 0.16\,\text{m}$、第2共鳴点 $L_2 = 0.50\,\text{m}$ のとき、波長はいくらか。
Q3. 弦の振動で気柱を共鳴させるとき、両者で等しいのは何か。
Q4. 共鳴管実験の第2共鳴点は何倍振動に対応するか。
振動数 $512\,\text{Hz}$ の音さを用いて共鳴管実験を行った。水面を下げていくと、気柱の長さが $L_1 = 0.16\,\text{m}$ と $L_2 = 0.49\,\text{m}$ のとき音が大きくなった。
(1) 音の波長を求めよ。
(2) 音速を求めよ。
(1) $\lambda = 2(L_2 - L_1) = 2(0.49 - 0.16) = 0.66\,\text{m}$
(2) $v = f\lambda = 512 \times 0.66 = 337.9 \approx 338\,\text{m/s}$
第1共鳴点と第2共鳴点の差が $\dfrac{\lambda}{2}$ に等しいことを利用します。
$L_2 - L_1 = 0.49 - 0.16 = 0.33\,\text{m} = \dfrac{\lambda}{2}$
$\lambda = 0.66\,\text{m}$、$v = 512 \times 0.66 \approx 338\,\text{m/s}$。
前問（2-5-1）の結果を用いて、開口端補正 $\Delta$ を求めよ。
$\Delta = 0.005\,\text{m} = 0.5\,\text{cm}$
$L_1 + \Delta = \dfrac{\lambda}{4}$ より：
$\Delta = \dfrac{\lambda}{4} - L_1 = \dfrac{0.66}{4} - 0.16 = 0.165 - 0.16 = 0.005\,\text{m}$
共鳴管実験で、気柱の長さが $L_1 = 0.17\,\text{m}$、$L_2 = 0.52\,\text{m}$、$L_3 = 0.87\,\text{m}$ で共鳴した。次の問いに答えよ。
(1) $L_2 - L_1$ と $L_3 - L_2$ をそれぞれ計算し、これらの平均値から波長 $\lambda$ を精度よく求めよ。
(2) 開口端補正 $\Delta$ を求めよ。
(3) 音さの振動数が $485\,\text{Hz}$ のとき、音速を求めよ。
(1) $L_2 - L_1 = 0.35\,\text{m}$、$L_3 - L_2 = 0.35\,\text{m}$。平均 $= 0.35\,\text{m} = \dfrac{\lambda}{2}$ → $\lambda = 0.70\,\text{m}$
(2) $\Delta = \dfrac{0.70}{4} - 0.17 = 0.175 - 0.17 = 0.005\,\text{m}$
(3) $v = 485 \times 0.70 = 339.5\,\text{m/s}$
隣り合う共鳴点の差はいずれも $\dfrac{\lambda}{2}$ です。
$L_2 - L_1 = 0.52 - 0.17 = 0.35\,\text{m}$
$L_3 - L_2 = 0.87 - 0.52 = 0.35\,\text{m}$
平均 $= 0.35\,\text{m}$。$\lambda = 2 \times 0.35 = 0.70\,\text{m}$
実験では測定誤差があるため、複数の差の平均をとることで精度が上がります。
長さ $0.60\,\text{m}$、線密度 $1.0 \times 10^{-3}\,\text{kg/m}$ の弦に張力 $36\,\text{N}$ をかけて基本振動させた。この弦の近くに長さ $L$ の閉管を置いたところ、閉管が基本振動で共鳴した。音速を $340\,\text{m/s}$ として、閉管の長さ $L$ を求めよ。開口端補正は無視してよい。
$L = 0.68\,\text{m}$
弦の波の速さ：$v_{\text{弦}} = \sqrt{\dfrac{S}{\rho}} = \sqrt{\dfrac{36}{1.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{36000} = 60\sqrt{10} \approx 189.7\,\text{m/s}$
弦の基本振動数：$f = \dfrac{v_{\text{弦}}}{2L_{\text{弦}}} = \dfrac{60\sqrt{10}}{2 \times 0.60} = \dfrac{60\sqrt{10}}{1.2} = 50\sqrt{10} \approx 158.1\,\text{Hz}$
正確に：$v_{\text{弦}} = \sqrt{36000} = 6\sqrt{1000} = 6 \times 10\sqrt{10} = 60\sqrt{10}$
$f = \dfrac{60\sqrt{10}}{1.2} = 50\sqrt{10}$
閉管の基本振動：$f = \dfrac{v_{\text{音}}}{4L}$ → $L = \dfrac{v_{\text{音}}}{4f} = \dfrac{340}{4 \times 50\sqrt{10}} = \dfrac{340}{200\sqrt{10}} = \dfrac{17}{10\sqrt{10}} = \dfrac{17\sqrt{10}}{100} \approx 0.537\,\text{m}$
計算を整理：$v_{\text{弦}} = \sqrt{36/0.001} = \sqrt{36000}$、$f = \sqrt{36000}/(2 \times 0.6) = \sqrt{36000}/1.2 = 158.1\,\text{Hz}$。
$L = 340/(4 \times 158.1) = 340/632.5 = 0.538\,\text{m} \approx 0.54\,\text{m}$。
（有効数字2桁で $L \approx 0.54\,\text{m}$）
振動数 $440\,\text{Hz}$ の音さを用いて共鳴管実験を行う。気温が $15\,°\text{C}$ のとき、第1共鳴点の気柱の長さ $L_1$ を求めよ。ただし音速は $v = 331.5 + 0.6t\,\text{(m/s)}$、開口端補正は管の内径 $d = 4.0\,\text{cm}$ に対して $\Delta = 0.3d$ で計算せよ。
$L_1 \approx 0.182\,\text{m}$
$v = 331.5 + 0.6 \times 15 = 340.5\,\text{m/s}$
$\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{340.5}{440} = 0.7739\,\text{m}$
$\Delta = 0.3 \times 0.040 = 0.012\,\text{m}$
$L_1 + \Delta = \dfrac{\lambda}{4}$ → $L_1 = \dfrac{\lambda}{4} - \Delta = \dfrac{0.7739}{4} - 0.012 = 0.1935 - 0.012 = 0.1815 \approx 0.182\,\text{m}$
長さ $L_s$ の弦を基本振動させたとき、その音が長さ $L_p$ の開管の第3倍振動と共鳴した。弦を伝わる横波の速さを $v_s$、音速を $v_a$ として、$L_s$ と $L_p$ の関係を求めよ。また、弦の張力を2倍にしたとき、開管が何倍振動で共鳴するか述べよ。開口端補正は無視してよい。
$L_s = \dfrac{v_s L_p}{3 v_a}$
張力2倍のとき、共鳴するのは開管の整数倍音のうち $3\sqrt{2} \approx 4.24$ に最も近い整数、すなわち第4倍振動で近似的に共鳴する（厳密には共鳴しない）。
弦の基本振動数：$f_s = \dfrac{v_s}{2L_s}$
開管の第3倍振動数：$f_p = \dfrac{3v_a}{2L_p}$
共鳴条件 $f_s = f_p$：$\dfrac{v_s}{2L_s} = \dfrac{3v_a}{2L_p}$ → $L_s = \dfrac{v_s L_p}{3 v_a}$
張力を2倍にすると $v_s' = \sqrt{2}\,v_s$、$f_s' = \sqrt{2}\,f_s = \sqrt{2} \times \dfrac{3v_a}{2L_p}$。
開管の第 $n$ 倍音 $= \dfrac{nv_a}{2L_p}$ と等しくなるとき $n = 3\sqrt{2} \approx 4.24$。
$n$ は整数なので厳密には共鳴しません。このように弦のパラメータを連続的に変えると、気柱の離散的な共鳴振動数と一致しない場合があることを理解しましょう。