車のクラクションを鳴らしながらビルに向かって走ると、反射音が直接音と異なる高さに聞こえます。
壁での反射を含むドップラー効果は入試の頻出テーマです。ポイントは、壁を「観測者兼音源」とみなし、ドップラー効果を2段階で適用することです。
静止した壁に音が当たって反射するとき、壁は次の2つの役割を果たします。
壁が受け取る振動数（第1段階の結果）が、壁が反射する振動数になります。 つまり、第1段階の出力が第2段階の入力になるのです。
壁の反射問題を解くコツは、壁を仲介点として2段階に分けることです。
第1段階：元の音源 → 壁（壁が「聞く」振動数 $f_w$ を求める）
第2段階：壁 → 最終的な観測者（$f_w$ を使って反射音の振動数 $f'$ を求める）
壁が静止しているなら、壁は「静止した観測者」兼「静止した音源」です。
音源が振動数 $f$ で音を出しながら速さ $v_s$ で壁に近づく場合、壁は静止した観測者です。
壁が受け取る振動数は
$$f_w = f \cdot \frac{V}{V - v_s}$$
音源が壁に近づいているので $f_w > f$ です。壁は元の音源よりも高い振動数の音を受け取ります。
壁が受け取る振動数（壁は静止した観測者、$v_o = 0$）：
$$f_w = f \cdot \frac{V}{V - v_s}$$
壁は振動数 $f_w$ の音を反射します。壁は静止しているので、壁からの反射音の波長は変化しません。
最終的な観測者がどこにいるかによって2つのケースがあります。
音源が速さ $v_s$ で壁に向かって動いているとき、壁からの反射音に対して音源は「観測者」として速さ $v_o = v_s$ で壁に近づいています。
$$f' = f_w \cdot \frac{V + v_s}{V} = f \cdot \frac{V}{V - v_s} \cdot \frac{V + v_s}{V} = f \cdot \frac{V + v_s}{V - v_s}$$
壁からの反射音は壁（静止した音源）から出て、静止した観測者に届きます。$v_o = 0$ なので
$$f' = f_w \cdot \frac{V}{V} = f_w = f \cdot \frac{V}{V - v_s}$$
音源が壁に向かって走り、自分で反射音を聞く場合：
$$f' = f \cdot \frac{V + v_s}{V - v_s}$$
音源が壁に向かって走り、後方の静止した観測者が反射音を聞く場合：
$$f' = f \cdot \frac{V}{V - v_s}$$
壁は静止しているので、反射音の「音源」としての壁の速さは $0$ です。
✕ 誤：壁からの反射音にも波長の変化（音源移動の効果）がある
○ 正：壁は静止しているので反射音の波長は $V/f_w$。壁は振動数 $f_w$ の音源として振る舞う
壁が動く場合は別途考える必要がありますが、通常の問題では壁は静止しています。
| 状況 | 反射音の振動数 |
|---|---|
| 音源が壁に接近、音源自身が聞く | $f' = f(V + v_s)/(V - v_s)$ |
| 音源が壁から後退、音源自身が聞く | $f' = f(V - v_s)/(V + v_s)$ |
| 音源が壁に接近、後方静止の観測者 | $f' = fV/(V - v_s)$ |
| 音源静止、観測者が壁に接近して聞く | $f' = f(V + v_o)/V$ |
音源が壁に向かって動きながら音を出すと、直接音（振動数 $f$）と反射音（振動数 $f'$）の両方が聞こえます。
$f' \neq f$ なので、直接音と反射音の間にうなりが生じます。うなりの振動数は $|f' - f|$ です。
音源自身が聞く場合のうなりの振動数は $f' - f = f \cdot \dfrac{V + v_s}{V - v_s} - f = f \cdot \dfrac{2v_s}{V - v_s}$ です。
壁の反射問題でよくある失敗は、1回のドップラー効果で一気に解こうとすることです。
必ず音源→壁と壁→最終観測者の2段階に分けましょう。各段階で「音源は誰か」「観測者は誰か」「それぞれ動いているか」を明確にすれば、統一公式を2回使うだけで解けます。
壁での反射は、ドップラー効果の応用問題で最も出題頻度が高いテーマの一つです。
Q1. 壁での反射によるドップラー効果は、何段階に分けて考えますか。
Q2. 静止した壁が反射音を出すとき、壁は「速さいくらの音源」として扱いますか。
Q3. 音源が壁に向かって速さ $v_s$ で走りながら自分で反射音を聞くとき、反射音の振動数の公式を書いてください。
Q4. 直接音と反射音のうなりの振動数はどう求めますか。
壁での反射を含むドップラー効果を入試形式で確認しましょう。
振動数 $f = 400\,\text{Hz}$ の音源が、速さ $v_s = 20\,\text{m/s}$ で静止した壁に向かって進んでいる。壁での反射音を音源自身が聞く場合、その振動数を求めよ。$V = 340\,\text{m/s}$。
$f' = 450\,\text{Hz}$
$$f' = f \cdot \frac{V + v_s}{V - v_s} = 400 \times \frac{340 + 20}{340 - 20} = 400 \times \frac{360}{320} = 450\,\text{Hz}$$
上の問題で、音源の後方に静止した観測者が壁からの反射音を聞く場合、その振動数を求めよ。
$f' = 425\,\text{Hz}$
第1段階：壁が受け取る振動数 $f_w = 400 \times \dfrac{340}{340 - 20} = 400 \times \dfrac{340}{320} = 425\,\text{Hz}$
第2段階：壁（静止した音源）→ 静止した観測者 → $f' = f_w = 425\,\text{Hz}$
壁も観測者も静止しているので、第2段階ではドップラー効果は起こりません。
振動数 $f = 500\,\text{Hz}$ の音源を鳴らしながら、壁に向かって速さ $v_s$ で走っている。壁で反射した音と直接聞こえる音との間に $1$ 秒間に $6$ 回のうなりが聞こえた。$V = 340\,\text{m/s}$ として、音源の速さ $v_s$ を求めよ。
$v_s \approx 2.0\,\text{m/s}$
音源自身が聞く反射音の振動数：$f' = f \cdot \dfrac{V + v_s}{V - v_s}$
直接音は $f = 500\,\text{Hz}$（音源自身には変化なし）。
うなりの振動数：$f' - f = 6\,\text{Hz}$
$$f \cdot \frac{V + v_s}{V - v_s} - f = 6$$
$$f \left(\frac{V + v_s}{V - v_s} - 1\right) = 6$$
$$f \cdot \frac{2v_s}{V - v_s} = 6$$
$$500 \times \frac{2v_s}{340 - v_s} = 6$$
$v_s \ll V$ なので近似的に $\dfrac{1000\,v_s}{340} \approx 6$ → $v_s \approx 2.04\,\text{m/s}$
正確には $1000\,v_s = 6(340 - v_s) = 2040 - 6v_s$ → $1006\,v_s = 2040$ → $v_s \approx 2.03\,\text{m/s}$
壁から離れた位置に静止した音源（$f = 600\,\text{Hz}$）がある。観測者は音源と壁の間にいて、速さ $v_o = 10\,\text{m/s}$ で壁に向かって走っている。$V = 340\,\text{m/s}$ として、次の問いに答えよ。
(1) 観測者が直接聞く音の振動数を求めよ。
(2) 壁で反射して観測者に届く音の振動数を求めよ。
(3) 直接音と反射音のうなりの振動数を求めよ。
(1) $f_1 \approx 618\,\text{Hz}$
(2) $f_2 \approx 582\,\text{Hz}$
(3) うなりの振動数 $\approx 35\,\text{Hz}$
(1) 直接音：音源（静止）→ 観測者（壁に向かう＝音源に近づく、$v_o = 10$）
$$f_1 = f \cdot \frac{V + v_o}{V} = 600 \times \frac{350}{340} \approx 618\,\text{Hz}$$
(2) 反射音は2段階。
第1段階：音源（静止）→ 壁（静止した観測者）→ $f_w = f = 600\,\text{Hz}$
第2段階：壁（静止した音源、$f_w = 600\,\text{Hz}$）→ 観測者（壁から遠ざかる、$v_o = -10$）
$$f_2 = f_w \cdot \frac{V - v_o}{V} = 600 \times \frac{330}{340} \approx 582\,\text{Hz}$$
(3) $|f_1 - f_2| = |618 - 582| = 35\,\text{Hz}$
正確には $f_1 = 600 \times 350/340$、$f_2 = 600 \times 330/340$ なので
$f_1 - f_2 = 600 \times (350 - 330)/340 = 600 \times 20/340 \approx 35.3\,\text{Hz}$