力学で「高さ」があれば位置エネルギーが決まるように、電場の中にも「電気的な高さ」が存在します。
それが電位です。電場がベクトル量で扱いが大変なのに対し、電位はスカラー量なので計算が格段に楽になります。
電位差と仕事の関係を理解すれば、回路の問題にも電場の問題にも強くなれます。
電位 $V$ は、空間の各点に定義されるスカラー量で、「正の単位電荷（$+1\,\text{C}$）をその点に持ってくるのに必要な仕事」として定義されます。
$$V = \frac{W}{q}$$
力学では「高い場所ほど位置エネルギーが大きい」。同様に、「電位が高い場所ほど正電荷の電気的な位置エネルギーが大きい」。
正電荷は電位が高い方から低い方へ動こうとし、負電荷はその逆です。電場は電位が高い方から低い方を向きます。
2点間の電位の差を電位差（電圧）といいます。電荷を電位差のある2点間で動かすとき、電場がする仕事が求まります。
電荷 $q$ が電位差 $\Delta V = V_A - V_B$ の2点間を A→B と移動するとき、電場がする仕事は
$$W = q(V_A - V_B) = q\Delta V$$
× 誤：電場がする仕事は常に正
○ 正：正電荷が高電位→低電位へ動くとき電場は正の仕事をする。逆向きなら負の仕事（外力が仕事をする）
$W = q(V_A - V_B)$ に値を代入すれば符号が自動的に決まります。符号に悩む前にまず代入しましょう。
静電場は保存力場です。つまり、2点間を移動するのにどの経路を通っても仕事は同じです。これは重力場と同じ性質で、だからこそ「電位」というスカラー量が定義できるのです。
電場と電位には密接な関係があります。一様な電場の場合、
$$E = -\frac{\Delta V}{\Delta x}$$
電位を「高さ」に例えると、電場は「坂の傾き」に相当します。急な坂（電位の変化が大きい）ほど電場が強い。電場は坂を「下る」方向を向きます。
等電位面（電位が等しい面）は電場に垂直です。地図の等高線と同じです。
電位 $V$ の点に電荷 $q$ がある場合、その電位エネルギー（静電ポテンシャルエネルギー）$U$ は
$$U = qV$$
× 誤：電位が高い場所は常に電位エネルギーが大きい
○ 正：正電荷なら高電位で $U$ が大きい。負電荷なら高電位で $U$ が小さい（$U = qV$ で $q < 0$）
電位はスカラー量であり、電場の問題を簡潔に扱うための強力な道具です。
Q1. 電位の定義式を書いてください。
Q2. $+2\,\text{C}$ の電荷を電位差 $5\,\text{V}$ の2点間で高電位→低電位に移動させたとき、電場がする仕事はいくらか。
Q3. 電場と等電位面はどのような関係にあるか。
Q4. 電位 $100\,\text{V}$ の点に $-3\,\mu\text{C}$ の電荷がある。電位エネルギーはいくらか。
電位と電位差を入試形式で確認しましょう。
電位差 $12\,\text{V}$ の2点間で $+3.0\,\text{C}$ の電荷を低電位→高電位に移動させるのに必要な外力の仕事を求めよ。
$W_{\text{外}} = 36\,\text{J}$
低電位→高電位に移動するので、電場は負の仕事をする。$W_{\text{電場}} = q(V_A - V_B) = 3.0 \times (-12) = -36\,\text{J}$
外力がする仕事は電場がする仕事と逆符号：$W_{\text{外}} = -W_{\text{電場}} = 36\,\text{J}$
電位 $V_A = 200\,\text{V}$、$V_B = 50\,\text{V}$ の2点がある。$+5.0\,\mu\text{C}$ の電荷を A から B に移動させたとき、電荷の電位エネルギーの変化量を求めよ。
$\Delta U = -7.5 \times 10^{-4}\,\text{J}$（減少）
$\Delta U = q(V_B - V_A) = 5.0 \times 10^{-6} \times (50 - 200) = 5.0 \times 10^{-6} \times (-150) = -7.5 \times 10^{-4}\,\text{J}$
正電荷が高電位→低電位に移動したので電位エネルギーは減少。減少分は運動エネルギーや他のエネルギーに変換される。
一様な電場中で、電場の向きに $0.20\,\text{m}$ 離れた2点間の電位差が $100\,\text{V}$ であった。電場の大きさを求めよ。
$E = 500\,\text{V/m}$
$E = \dfrac{\Delta V}{\Delta x} = \dfrac{100}{0.20} = 500\,\text{V/m}$
一様な電場では $E$ と $\Delta V/\Delta x$ が直接結びつく。
電位差 $1000\,\text{V}$ で加速された電子（質量 $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}$、電荷 $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$）の速さを求めよ。初速は $0$ とする。
$v \approx 1.9 \times 10^7\,\text{m/s}$
エネルギー保存：$e\Delta V = \dfrac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{\dfrac{2e\Delta V}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{3.52 \times 10^{14}} \approx 1.88 \times 10^7\,\text{m/s}$
電位差 $V_0$ で加速した陽子と電子では、どちらの速さが大きいか。質量比 $m_p/m_e \approx 1836$ として、速さの比を求めよ。
電子の方が速い。$v_e/v_p = \sqrt{m_p/m_e} \approx 43$
どちらも電荷の大きさは $e$ なので、得る運動エネルギーは同じ：$eV_0 = \dfrac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2eV_0/m}$ なので、$v \propto 1/\sqrt{m}$
$\dfrac{v_e}{v_p} = \sqrt{\dfrac{m_p}{m_e}} = \sqrt{1836} \approx 42.8 \approx 43$
一様な電場 $E\,[\text{V/m}]$（$x$ 軸正方向）の中で、電荷 $+q$ を点 A$(0, 0)$ から点 B$(d, d)$ に移動させる。次の2つの経路で電場がする仕事を求め、等しいことを示せ。
経路1：A→C$(d, 0)$→B 経路2：A→D$(0, d)$→B
いずれも $W = qEd$
電場は $x$ 方向のみなので、$y$ 方向の移動では仕事をしない。
経路1：A→C は $x$ 方向に $d$ 移動 → $W_1 = qEd$。C→B は $y$ 方向に $d$ 移動 → $W_2 = 0$。合計 $W = qEd$。
経路2：A→D は $y$ 方向に $d$ 移動 → $W_1 = 0$。D→B は $x$ 方向に $d$ 移動 → $W_2 = qEd$。合計 $W = qEd$。
いずれの経路でも $W = qEd$ で等しい。これは静電場が保存力場であることの具体例。