抵抗の直列・並列接続を思い出してください。コンデンサーにも同様に「合成容量」の考え方があります。
ただし、抵抗とは公式が逆転します ── 直列では逆数の和、並列ではそのまま和。
なぜ逆になるのかを物理的に理解し、複雑な回路でも迷わず合成容量を求められるようになりましょう。
2つのコンデンサー $C_1$、$C_2$ を並列に接続すると、両方のコンデンサーに同じ電圧 $V$ がかかります。 それぞれのコンデンサーに蓄えられる電荷は $Q_1 = C_1 V$、$Q_2 = C_2 V$ です。
全体の電荷は $Q = Q_1 + Q_2 = (C_1 + C_2)V$ ですから、合成容量 $C$ は次のようになります。
$$C = C_1 + C_2$$
$n$ 個の場合：$C = C_1 + C_2 + \cdots + C_n$
並列接続では、各コンデンサーの両端の電位差が等しい：$V_1 = V_2 = V$
全体の電荷は各コンデンサーの電荷の和：
$$Q = Q_1 + Q_2 = C_1 V + C_2 V = (C_1 + C_2)V$$
合成容量の定義 $Q = CV$ と比較すると、
$$C = C_1 + C_2$$
$C = \varepsilon S / d$ を思い出してください。2つのコンデンサーを並列に接続することは、極板の面積を足し合わせることに相当します。
大きな皿を2枚並べれば、1枚のときより多くの電荷を蓄えられる ── だから合成容量は単純な和になるのです。
コンデンサーの合成容量の公式は抵抗と逆です。
✕ 誤：並列接続で $\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$（これは直列の式）
○ 正：並列接続で $C = C_1 + C_2$
「並列は電圧が共通 → 電荷を足す → 容量も足す」と原理から考えれば間違えません。
2つのコンデンサー $C_1$、$C_2$ を直列に接続して電圧 $V$ をかけると、 導体でつながれた中間の極板には外部から電荷が供給されないため、 各コンデンサーに蓄えられる電荷は等しく $Q$ になります。
各コンデンサーの電圧は $V_1 = Q/C_1$、$V_2 = Q/C_2$ であり、 全体の電圧は $V = V_1 + V_2$ です。
$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$
$n$ 個の場合：$\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \cdots + \dfrac{1}{C_n}$
直列接続では、各コンデンサーの電荷が等しい：$Q_1 = Q_2 = Q$
全体の電位差は各コンデンサーの電位差の和：
$$V = V_1 + V_2 = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} = Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right)$$
$V = Q/C$ と比較すると、
$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$
直列接続は、2つのコンデンサーの極板間の距離を足し合わせることに相当します。
$C = \varepsilon S/d$ で $d$ が大きくなると $C$ は小さくなるのと同様に、 直列接続の合成容量は各コンデンサーの容量よりも小さくなります。
直列接続された2つのコンデンサーの中間部分（$C_1$ の負極板と $C_2$ の正極板をつなぐ導体部分）は、 外部回路から孤立しています。
充電前のこの部分の電荷の総和はゼロです。充電によって $C_1$ の負極板に $-Q$ が蓄えられると、 静電誘導により $C_2$ の正極板に $+Q$ が現れます。 これは電荷保存則の帰結です。
✕ 誤：$C = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$（逆数を取っていない）
○ 正：$\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$ → $C = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$
2つの場合は「積÷和」の形が便利です。最終的に逆数を取ることを忘れないようにしましょう。
$C_1$ と $C_2$ の直列接続の場合、合成容量は「和分の積」で計算できます。
$$C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$$
たとえば $C_1 = 3\,\mu\text{F}$、$C_2 = 6\,\mu\text{F}$ なら、$C = \dfrac{3 \times 6}{3 + 6} = 2\,\mu\text{F}$ です。
3つ以上の直列接続ではこの公式は使えないので、逆数の和の式を使いましょう。
コンデンサーの合成容量は、抵抗の合成抵抗と公式が逆転しています。 この対比を整理しておきましょう。
| 接続 | 抵抗の合成 | コンデンサーの合成 |
|---|---|---|
| 直列 | $R = R_1 + R_2$ | $\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$ |
| 並列 | $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$ | $C = C_1 + C_2$ |
| 共通量 | 直列：電流が共通 並列：電圧が共通 |
直列：電荷が共通 並列：電圧が共通 |
抵抗では $V = RI$ の形で $R$ が大きいほど電圧降下が大きくなります。一方、コンデンサーでは $V = Q/C$ の形で $C$ が大きいほど電圧降下が小さくなります。
つまり、抵抗は「流れにくさ」を表し、電気容量は「蓄えやすさ」を表します。 この逆の性質が、公式の逆転の原因です。
公式を暗記するより、次の原理を覚えておけば導けます。
並列：電圧共通 → $Q = Q_1 + Q_2$ → $CV = C_1 V + C_2 V$ → $C = C_1 + C_2$
直列：電荷共通 → $V = V_1 + V_2$ → $Q/C = Q/C_1 + Q/C_2$ → $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$
「何が共通で何が足されるのか」さえ分かれば、公式はその場で導けます。
実際の入試問題では、直列と並列が組み合わされた回路が出題されます。 解法の基本は、「内側から外側へ」順に合成していくことです。
$C_1 = 2\,\mu\text{F}$ と $C_2 = 4\,\mu\text{F}$ が並列に接続され、 その合成容量と $C_3 = 3\,\mu\text{F}$ が直列に接続されている場合を考えましょう。
まず並列部分：$C_{12} = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6\,\mu\text{F}$
次に直列部分：$\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_{12}} + \dfrac{1}{C_3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
よって $C = 2\,\mu\text{F}$
✕ 誤：回路図の見た目だけで判断する
○ 正：「2つのコンデンサーの両端が同じ2点に接続」→ 並列、「一列に順番に接続」→ 直列
複雑な回路では、等電位点を見つけて回路図を書き直すと見やすくなります。
合成容量の考え方は、複雑なコンデンサー回路を解くための基礎です。
Q1. $3\,\mu\text{F}$ と $6\,\mu\text{F}$ のコンデンサーを並列に接続したとき、合成容量はいくらですか。
Q2. $3\,\mu\text{F}$ と $6\,\mu\text{F}$ のコンデンサーを直列に接続したとき、合成容量はいくらですか。
Q3. コンデンサーの直列接続で、各コンデンサーの電荷が等しくなるのはなぜですか。
Q4. コンデンサーの合成容量の公式が抵抗と逆になる理由を簡潔に述べてください。
直列・並列接続の理解を入試形式で確認しましょう。
$4\,\mu\text{F}$ と $6\,\mu\text{F}$ のコンデンサーを並列に接続し、$10\,\text{V}$ の電圧をかけた。次の問いに答えよ。
(1) 合成容量を求めよ。
(2) 全体の電荷を求めよ。
(3) $4\,\mu\text{F}$ のコンデンサーに蓄えられた電荷を求めよ。
(1) $10\,\mu\text{F}$
(2) $100\,\mu\text{C}$
(3) $40\,\mu\text{C}$
(1) 並列接続：$C = 4 + 6 = 10\,\mu\text{F}$
(2) $Q = CV = 10 \times 10^{-6} \times 10 = 100 \times 10^{-6}\,\text{C} = 100\,\mu\text{C}$
(3) 並列では各コンデンサーに同じ電圧 $10\,\text{V}$ がかかるので、$Q_1 = C_1 V = 4 \times 10^{-6} \times 10 = 40\,\mu\text{C}$
$2\,\mu\text{F}$ と $3\,\mu\text{F}$ のコンデンサーを直列に接続し、$100\,\text{V}$ の電圧をかけた。次の問いに答えよ。
(1) 合成容量を求めよ。
(2) 各コンデンサーに蓄えられる電荷を求めよ。
(3) 各コンデンサーの両端の電圧を求めよ。
(1) $1.2\,\mu\text{F}$
(2) 各コンデンサーとも $120\,\mu\text{C}$
(3) $2\,\mu\text{F}$ のコンデンサー：$60\,\text{V}$、$3\,\mu\text{F}$ のコンデンサー：$40\,\text{V}$
(1) $C = \dfrac{2 \times 3}{2 + 3} = \dfrac{6}{5} = 1.2\,\mu\text{F}$
(2) 直列接続なので電荷は共通：$Q = CV = 1.2 \times 10^{-6} \times 100 = 120\,\mu\text{C}$
(3) $V_1 = Q/C_1 = 120/2 = 60\,\text{V}$、$V_2 = Q/C_2 = 120/3 = 40\,\text{V}$
検算：$V_1 + V_2 = 60 + 40 = 100\,\text{V}$ ✓
$C_1 = 2\,\mu\text{F}$、$C_2 = 4\,\mu\text{F}$、$C_3 = 6\,\mu\text{F}$ の3つのコンデンサーがある。$C_1$ と $C_2$ を並列に接続し、その合成容量と $C_3$ を直列に接続して、全体に $60\,\text{V}$ の電圧をかけた。
(1) 全体の合成容量を求めよ。
(2) $C_3$ に蓄えられる電荷を求めよ。
(3) $C_1$ の両端の電圧と蓄えられる電荷を求めよ。
(1) $3\,\mu\text{F}$
(2) $180\,\mu\text{C}$
(3) 電圧 $30\,\text{V}$、電荷 $60\,\mu\text{C}$
方針：まず並列部分を合成し、次に直列部分を合成する。
並列部分：$C_{12} = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6\,\mu\text{F}$
(1) 直列部分：$C = \dfrac{C_{12} \times C_3}{C_{12} + C_3} = \dfrac{6 \times 6}{6 + 6} = 3\,\mu\text{F}$
(2) 全体の電荷：$Q = CV = 3 \times 60 = 180\,\mu\text{C}$（直列なので $C_{12}$ と $C_3$ の電荷は等しく $180\,\mu\text{C}$）
(3) 並列部分の電圧：$V_{12} = Q/C_{12} = 180/6 = 30\,\text{V}$
$C_1$ は並列接続なので電圧は $V_{12} = 30\,\text{V}$。電荷は $Q_1 = C_1 V_{12} = 2 \times 30 = 60\,\mu\text{C}$