未知の抵抗を正確に測定したいとき、テスターで直接測る方法は簡便ですが精度に限界があります。 19世紀にイギリスの物理学者ホイートストンが広めたブリッジ回路は、 「電流がゼロ」という条件を利用して抵抗を精密に測定する巧妙な手法です。
ホイートストンブリッジは、4つの抵抗 $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ をひし形（ブリッジ型）に配置し、 対角線上に検流計（ガルバノメーター）$G$ と電源を接続した回路です。
4つの抵抗を上辺左から時計回りに $R_1$, $R_2$, $R_4$, $R_3$ と配置したとき、 $R_1$ と $R_2$ の接続点（C）と $R_3$ と $R_4$ の接続点（D）の間に検流計を入れます。 電源は残りの2つの対角点（A, B）に接続します。
ホイートストンブリッジの核心は、検流計に電流が流れない状態（平衡状態）を作ることです。
電流がゼロであるかどうかの判定は非常に高精度にできます。 「電流を正確に測る」のではなく「電流がゼロであることを確認する」のがポイントです。 これが精密測定を可能にする理由です。
検流計に電流が流れない（$I_G = 0$）とき、点Cと点Dの電位が等しくなります。
$I_G = 0$ のとき、$R_1$ と $R_2$ には同じ電流 $I_a$ が流れ、$R_3$ と $R_4$ には同じ電流 $I_b$ が流れます。
点Cの電位：$V_C = V_A - I_a R_1$
点Dの電位：$V_D = V_A - I_b R_3$
$V_C = V_D$ より：$I_a R_1 = I_b R_3$ …(i)
同様に、点Bの電位から：
$V_B = V_C - I_a R_2 = V_D - I_b R_4$
$V_C = V_D$ より：$I_a R_2 = I_b R_4$ …(ii)
(i) を (ii) で割ると：
$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$$
$$R_1 R_4 = R_2 R_3$$
あるいは
$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$$
✕ 誤：隣り合う抵抗の比を等しくする（$R_1 / R_3 = R_2 / R_4$ など）
○ 正：同じ枝にある抵抗の比を等しくする（$R_1 / R_2 = R_3 / R_4$）
回路図を描いて、どの抵抗がどの枝にあるかを必ず確認しましょう。
未知抵抗 $R_x$ を $R_1$ の位置に、既知の可変抵抗を $R_2$, $R_3$, $R_4$ の位置に接続します。 可変抵抗を調節して検流計の電流がゼロになったとき、
$$R_x = R_2 \cdot \frac{R_3}{R_4}$$
$R_2$, $R_3$, $R_4$ は既知なので、$R_x$ が精密に決まります。
平衡条件 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ には、電源の起電力も内部抵抗も、検流計の内部抵抗も含まれていません。
つまり、電源の性能に関係なく、抵抗の比だけで測定結果が決まります。 これがブリッジ回路による測定の信頼性が高い理由です。
電流を正確に測定するには、電流計の内部抵抗や目盛りの精度が影響します。 しかし「電流がゼロかどうか」を判定するだけなら、検流計の精度はそれほど要求されません。
検流計は「ゼロ点」を高感度で検出できるため、 ゼロ検出法（ヌル法）は原理的に非常に高精度な測定法です。
平衡していない（$R_1 R_4 \neq R_2 R_3$）ブリッジ回路では、検流計に電流が流れます。 この場合は、キルヒホッフの法則を5つの枝に適用して連立方程式を解く必要があります。
入試では「平衡条件を使う問題」が圧倒的に多いですが、 「検流計を取り除いた場合の合成抵抗」を求める問題も出題されます。
平衡条件が成り立つとき、C-D間に電流は流れないので、検流計の有無は回路に影響しません。 このとき合成抵抗は：
$$R_{\text{合}} = \frac{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4}$$
✕ 誤：ブリッジ回路は「直列の並列」または「並列の直列」で合成できる
○ 正：非平衡時はC-D間に電流が流れるため、単純な直並列合成はできない。キルヒホッフの法則やデルタ-スター変換が必要
ホイートストンブリッジは直流回路の代表的な応用です。
Q1. ホイートストンブリッジの平衡条件を式で書いてください。
Q2. 平衡条件が電源の起電力に依存しないのはなぜですか。
Q3. $R_1 = 10\,\Omega$、$R_2 = 20\,\Omega$、$R_3 = 15\,\Omega$ のとき、平衡するための $R_4$ は？
ホイートストンブリッジの問題を解きましょう。
ホイートストンブリッジで $R_1 = 100\,\Omega$、$R_3 = 200\,\Omega$、$R_4 = 50\,\Omega$ としたとき、検流計の電流がゼロになった。未知抵抗 $R_2$ を求めよ。
$R_2 = 400\,\Omega$
平衡条件 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ に代入：
$100 \times 50 = R_2 \times 200$
$R_2 = \dfrac{5000}{200} = 25\,\Omega$
（あるいは $\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{R_3}{R_4}$ より $\dfrac{100}{R_2} = \dfrac{200}{50} = 4$、$R_2 = 25\,\Omega$）
ホイートストンブリッジ回路で $R_1 = 2\,\Omega$、$R_2 = 4\,\Omega$、$R_3 = 3\,\Omega$、$R_4 = 6\,\Omega$ である。
(1) この回路が平衡していることを確認せよ。
(2) A-B間の合成抵抗を求めよ。
(1) $R_1 R_4 = 2 \times 6 = 12 = R_2 R_3 = 4 \times 3$。よって平衡。
(2) $R_{\text{合}} = \dfrac{6 \times 9}{6 + 9} = \dfrac{54}{15} = 3.6\,\Omega$
(1) $R_1 R_4 = 2 \times 6 = 12$、$R_2 R_3 = 4 \times 3 = 12$。等しいので平衡。
(2) 平衡時はC-D間に電流が流れないので、検流計は無視できる。
上の枝：$R_1 + R_2 = 2 + 4 = 6\,\Omega$
下の枝：$R_3 + R_4 = 3 + 6 = 9\,\Omega$
並列合成：$R_{\text{合}} = \dfrac{6 \times 9}{6 + 9} = \dfrac{54}{15} = 3.6\,\Omega$
ホイートストンブリッジで $R_1 = R_2 = R_3 = R\,\Omega$、$R_4 = R + \Delta R\,\Omega$（$\Delta R \ll R$）としたとき、検流計に流れる微小電流を求めよ。電源の起電力を $E$、内部抵抗を無視し、検流計の内部抵抗を $R_G$ とする。
$I_G \approx \dfrac{E \cdot \Delta R}{4R(R + R_G)}$（$\Delta R \ll R$ の近似）
テブナンの定理を使うと見通しがよくなります。検流計を外したとき、C-D間の開放電圧 $V_{CD}$ を求めます。
上の枝：$V_C = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} E = \dfrac{E}{2}$
下の枝：$V_D = \dfrac{R_4}{R_3 + R_4} E = \dfrac{R + \Delta R}{2R + \Delta R} E$
$V_{CD} = V_C - V_D = \dfrac{E}{2} - \dfrac{(R + \Delta R)E}{2R + \Delta R}$
$\Delta R \ll R$ の近似で $V_{CD} \approx \dfrac{E \cdot \Delta R}{4R}$
C-D間から見た内部抵抗は $R_0 = \dfrac{R \cdot R}{R + R} + \dfrac{R \cdot R}{R + R} = R$（近似）
よって $I_G = \dfrac{V_{CD}}{R_0 + R_G} \approx \dfrac{E \cdot \Delta R}{4R(R + R_G)}$