直流回路でおなじみのオームの法則 $V = IR$ は、交流回路でも成り立つのでしょうか。
答えは「はい」ですが、交流特有の視点 ── 電圧と電流の位相関係 ── を理解しておく必要があります。
まずは最も単純な「抵抗だけ」の交流回路から始めましょう。これが交流回路を理解する出発点です。
抵抗 $R$ だけの回路に交流電圧 $v = V_0 \sin\omega t$ を加えます。 直流のときと同様に、抵抗にかかる電圧と流れる電流の間にはオームの法則が瞬間瞬間で成り立ちます。
電圧：$v = V_0 \sin\omega t$
電流：$$i = \frac{v}{R} = \frac{V_0}{R}\sin\omega t = I_0 \sin\omega t$$
電流の最大値：$$I_0 = \frac{V_0}{R}$$
ここで重要なのは、電圧が $\sin\omega t$ なら電流も $\sin\omega t$ であるということです。 電圧と電流が同じタイミングで最大になり、同じタイミングでゼロになる。 これを同位相（位相差ゼロ）と言います。
抵抗は、電圧をかけた瞬間にそれに比例した電流が流れます。エネルギーを蓄える機構がないため、電圧と電流の間にズレ（位相差）が生じません。
これはコンデンサーやコイルとの最大の違いです。後で学ぶように、コンデンサーやコイルではエネルギーの蓄積・放出があるため、電圧と電流の間に位相のずれが生じます。
交流回路を理解するうえで最も重要な概念が位相です。 抵抗回路では電圧と電流が同位相ですが、これを式で確認しましょう。
電圧：$v = V_0 \sin\omega t$
電流：$i = I_0 \sin\omega t$
どちらも $\sin\omega t$ の形をしており、位相のずれはありません。 グラフに描くと、電圧の波と電流の波がぴったり重なります（振幅は異なります）。
一般に、2つの正弦波 $\sin\omega t$ と $\sin(\omega t + \phi)$ の間の角度 $\phi$ を位相差と呼びます。 $\phi > 0$ なら後者が「進んでいる」、$\phi < 0$ なら「遅れている」と言います。
抵抗回路では $\phi = 0$（位相差なし）です。 次の記事で学ぶコンデンサー回路では $\phi = +\dfrac{\pi}{2}$（電流が電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 進む）、 コイル回路では $\phi = -\dfrac{\pi}{2}$（電流が電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れる）となります。
✕ 誤：位相が進んでいる = 時間的に後から来る
○ 正：位相が進んでいる = 時間的に先に最大値に達する（グラフで左にずれる）
「進む」は直感と逆に感じることがあります。$\sin(\omega t + \dfrac{\pi}{2})$ は $\sin\omega t$ よりも「先に」最大値に達するので「位相が進んでいる」のです。
交流の電圧と電流の位相関係を視覚的に表す方法として、フェーザー図（回転ベクトル図）があります。
各量を長さが振幅、回転角が位相のベクトルとして表し、ベクトルの $y$ 成分（縦成分）がその瞬間の値を表します。
抵抗回路では、電圧ベクトルと電流ベクトルが同じ方向を向いて一緒に回転します。
抵抗回路における瞬時電力は $p = vi = V_0 I_0 \sin^2\omega t$ です。 $\sin^2\omega t$ は常に0以上なので、抵抗は常にエネルギーを消費します。
瞬時電力：$$p = V_0 I_0 \sin^2\omega t$$
平均消費電力：$$\overline{P} = \frac{V_0 I_0}{2} = V_e I_e = I_e^2 R = \frac{V_e^2}{R}$$
$p = vi = (V_0\sin\omega t)(I_0\sin\omega t) = V_0 I_0 \sin^2\omega t$
1周期平均をとると、
$$\overline{P} = V_0 I_0 \cdot \overline{\sin^2\omega t} = V_0 I_0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{V_0 I_0}{2}$$
$V_e = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}}$、$I_e = \dfrac{I_0}{\sqrt{2}}$ を代入すると $\overline{P} = V_e I_e$ が確認できます。
抵抗回路で電力が常に正（＝常にエネルギーを消費する）なのは、電圧と電流が同位相だからです。$v$ が正のとき $i$ も正、$v$ が負のとき $i$ も負なので、積 $p = vi$ は常に正になります。
後で学ぶコンデンサーやコイルでは位相がずれるため、$vi$ が負になる時間帯がありエネルギーの授受が生じます。
✕ 誤：消費電力 $= V_0 I_0$
○ 正：平均消費電力 $= \dfrac{V_0 I_0}{2} = V_e I_e$。瞬時電力の最大値 $V_0 I_0$ は平均電力の2倍
「消費電力」と言ったら通常は平均消費電力のことです。最大値と混同しないよう注意しましょう。
抵抗だけの交流回路は、交流回路を学ぶための基準点です。
Q1. 抵抗だけの交流回路で、電圧と電流の位相差はいくらですか。
Q2. 実効値 $100\,\text{V}$ の交流を $50\,\Omega$ の抵抗に加えたとき、電流の実効値と平均消費電力を求めてください。
Q3. 抵抗回路で瞬時電力が常に正になる理由を、位相の観点から説明してください。
Q4. 抵抗回路における瞬時電力の最大値は、平均消費電力の何倍ですか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
$100\,\Omega$ の抵抗に、$v = 141\sin(100\pi t)\,[\text{V}]$ の交流電圧を加えた。次の問いに答えよ。
(1) 電流の最大値を求めよ。
(2) 電流の実効値を求めよ。
(3) 平均消費電力を求めよ。
(1) $I_0 = 1.41\,\text{A}$
(2) $I_e \approx 1.00\,\text{A}$
(3) $\overline{P} \approx 100\,\text{W}$
(1) $I_0 = \dfrac{V_0}{R} = \dfrac{141}{100} = 1.41\,\text{A}$
(2) $I_e = \dfrac{I_0}{\sqrt{2}} = \dfrac{1.41}{1.414} \approx 1.00\,\text{A}$
(3) $\overline{P} = I_e^2 R = 1.00^2 \times 100 = 100\,\text{W}$
実効値 $V_e\,[\text{V}]$、周波数 $f\,[\text{Hz}]$ の交流電源に抵抗 $R\,[\Omega]$ を接続した。次の問いに答えよ。
(1) 電流を時間の関数として表せ。
(2) 瞬時電力を時間の関数として表せ。
(3) 瞬時電力が最大となる時刻を、最も早いもの1つ求めよ。
(1) $i = \dfrac{\sqrt{2}\,V_e}{R}\sin(2\pi f t)$
(2) $p = \dfrac{V_e^2}{R}(1 - \cos 4\pi f t)$
(3) $t = \dfrac{1}{4f}$
(1) 電圧の最大値 $V_0 = \sqrt{2}\,V_e$、角周波数 $\omega = 2\pi f$ より $i = \dfrac{V_0}{R}\sin\omega t = \dfrac{\sqrt{2}\,V_e}{R}\sin(2\pi f t)$
(2) $p = vi = \dfrac{2V_e^2}{R}\sin^2(2\pi f t) = \dfrac{V_e^2}{R}(1 - \cos 4\pi f t)$
（半角公式 $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を使用）
(3) $\cos 4\pi f t = -1$ のとき $p$ は最大。$4\pi f t = \pi$ より $t = \dfrac{1}{4f}$
実効値 $100\,\text{V}$、$50\,\text{Hz}$ の交流電源に、$R_1 = 200\,\Omega$ と $R_2 = 300\,\Omega$ の抵抗を並列に接続した。次の問いに答えよ。
(1) 合成抵抗を求めよ。
(2) 電源から流れる電流の実効値を求めよ。
(3) 回路全体の平均消費電力を求めよ。
(4) $R_1$ と $R_2$ それぞれの消費電力を求め、合計が (3) と一致することを確認せよ。
(1) $R = 120\,\Omega$
(2) $I_e \approx 0.833\,\text{A}$
(3) $\overline{P} \approx 83.3\,\text{W}$
(4) $P_1 = 50.0\,\text{W}$、$P_2 \approx 33.3\,\text{W}$、合計 $\approx 83.3\,\text{W}$
(1) $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} = \dfrac{1}{200} + \dfrac{1}{300} = \dfrac{5}{600}$ より $R = 120\,\Omega$
(2) $I_e = \dfrac{V_e}{R} = \dfrac{100}{120} \approx 0.833\,\text{A}$
(3) $\overline{P} = \dfrac{V_e^2}{R} = \dfrac{100^2}{120} \approx 83.3\,\text{W}$
(4) $P_1 = \dfrac{V_e^2}{R_1} = \dfrac{100^2}{200} = 50.0\,\text{W}$、$P_2 = \dfrac{V_e^2}{R_2} = \dfrac{100^2}{300} \approx 33.3\,\text{W}$
$P_1 + P_2 = 50.0 + 33.3 = 83.3\,\text{W} = \overline{P}$ で一致。