第一宇宙速度は地球を「周回する」ための速度でした。
では、地球の重力圏を完全に脱出するにはどのくらいの速さが必要でしょうか。
エネルギー保存の法則から導かれる第二宇宙速度 $v_2 = \sqrt{2gR} \approx 11.2\,\text{km/s}$ を理解しましょう。
地表から打ち上げた物体が、地球の重力圏を脱出して無限遠に到達するために必要な最小の速さを第二宇宙速度（second cosmic velocity）または脱出速度（escape velocity）といいます。
「脱出」とは、無限遠（$r \to \infty$）で速度が0以上になることを意味します。最小の場合は無限遠で速度がちょうど0になります。
脱出条件は「力学的エネルギーの合計が0以上」です。
万有引力の位置エネルギーは $U = -\dfrac{GMm}{r}$ で常に負。運動エネルギー $K = \dfrac{1}{2}mv^2$ は常に正。
$K + U \geq 0$ が脱出条件で、等号のとき最小速度（脱出速度）になります。
地表（$r = R$）で速さ $v_2$ で打ち上げ、無限遠（$r \to \infty$）で速さ0になる条件を考えます。
地表でのエネルギー = 無限遠でのエネルギー
$$\frac{1}{2}mv_2^2 + \left(-\frac{GMm}{R}\right) = 0 + 0$$
$$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{GMm}{R}$$
$GM = gR^2$ を代入すると、
$$v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$$
万有引力の位置エネルギーは $U(r) = -\dfrac{GMm}{r}$ と定義されます（無限遠を基準 $U(\infty) = 0$）。
$r$ が大きくなると $U$ は $0$ に近づきます。$r = \infty$ で $U = 0$ です。
この定義では、位置エネルギーは常に負であることに注意してください。地球に束縛された物体の力学的エネルギーは負になります。
地表付近の重力の位置エネルギー $mgh$ は、高度が地球の半径より十分小さいときの近似です。
✕ 誤：$\frac{1}{2}mv_2^2 = mgh$（$h$ を無限大にする？）
○ 正：$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{GMm}{R}$（万有引力の位置エネルギーを使う）
宇宙規模の問題では必ず $U = -GMm/r$ を使いましょう。
第一宇宙速度 $v_1 = \sqrt{gR}$ と第二宇宙速度 $v_2 = \sqrt{2gR}$ を比較すると、
$$v_2 = \sqrt{2}\,v_1 \approx 1.41\,v_1$$
$v_2 = \sqrt{2}\,v_1$ という関係は偶然ではありません。
円軌道の運動エネルギーは $K = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{GMm}{2R}$ で、これは位置エネルギーの絶対値 $|U| = \frac{GMm}{R}$ のちょうど半分です。
脱出には $K = |U|$ が必要なので、エネルギーが2倍 → 速さは $\sqrt{2}$ 倍。
| 宇宙速度 | 意味 | 公式 | 数値 |
|---|---|---|---|
| 第一宇宙速度 $v_1$ | 地表すれすれの周回速度 | $\sqrt{gR}$ | $\approx 7.9\,\text{km/s}$ |
| 第二宇宙速度 $v_2$ | 地球からの脱出速度 | $\sqrt{2gR}$ | $\approx 11.2\,\text{km/s}$ |
脱出速度の公式 $v_2 = \sqrt{2gR}$ は任意の天体で使えます。
$$v_2 = \sqrt{2 \times 1.6 \times 1.7 \times 10^6} \approx 2.3\,\text{km/s}$$
地表で速さ $v$ で打ち上げたとき、力学的エネルギー $E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$ の正負で運動が分類できます。
太陽系からの脱出に必要な速度を第三宇宙速度といい、約 $16.7\,\text{km/s}$ です（地球の公転速度を利用した場合の地表からの速さは約 $16.7\,\text{km/s}$）。
惑星探査機ボイジャー1号は、木星・土星の重力を利用して太陽系脱出速度を得ました。
$v_2 = \sqrt{2gR}$ に物体の質量 $m$ は含まれません。
✕ 誤：重い物体は脱出に大きな速度が必要
○ 正：脱出速度は質量に依存しない（ただし、脱出に必要なエネルギーは質量に比例する）
第二宇宙速度は、万有引力のポテンシャルエネルギーとエネルギー保存則の直接的な応用です。
Q1. 第二宇宙速度の公式を書いてください。
Q2. 第一宇宙速度と第二宇宙速度の比は？
Q3. 脱出条件をエネルギーの式で書いてください。
Q4. 万有引力の位置エネルギーの式で、なぜ $mgh$ ではなく $-GMm/r$ を使うのですか。
第二宇宙速度を入試形式で確認しましょう。
地球の半径 $R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$、$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、第二宇宙速度を求めよ。また、第一宇宙速度の何倍か答えよ。
$v_2 \approx 11.2\,\text{km/s}$、第一宇宙速度の $\sqrt{2} \approx 1.41$ 倍。
$v_2 = \sqrt{2gR} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{1.254 \times 10^8} \approx 1.12 \times 10^4\,\text{m/s} = 11.2\,\text{km/s}$
$v_2 / v_1 = \sqrt{2gR}/\sqrt{gR} = \sqrt{2}$
エネルギー保存則を用いて、第二宇宙速度の公式 $v_2 = \sqrt{2gR}$ を導出せよ。
地表 $\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{R} = 0$（無限遠で $K = U = 0$）。$GM = gR^2$ を代入して $v_2 = \sqrt{2gR}$。
脱出条件は無限遠で速度が0以上。最小速度は $v_\infty = 0$ のとき。
$\frac{1}{2}mv_2^2 + \left(-\frac{GMm}{R}\right) = 0$ より $v_2^2 = \frac{2GM}{R} = 2gR$
地表から高度 $h = R$（地球の半径と同じ）の位置から物体を打ち出す。この位置からの脱出速度を求めよ。$v_2 = \sqrt{2gR}$ を用いて表せ。
$v = \dfrac{v_2}{\sqrt{2}} = \sqrt{gR} = v_1$
高度 $h = R$ の位置では中心からの距離は $2R$。
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{2R} = 0$ より $v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2gR} = \frac{v_2}{\sqrt{2}}$
面白いことに、高度 $R$ からの脱出速度は地表での第一宇宙速度 $v_1 = \sqrt{gR}$ に等しくなります。
地表から速さ $v_0 = 15\,\text{km/s}$ で打ち上げた物体が無限遠に達したときの速さを求めよ。$v_2 = 11.2\,\text{km/s}$ とする。
$v_\infty \approx 10.0\,\text{km/s}$
エネルギー保存：$\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv_\infty^2$
$v_\infty^2 = v_0^2 - \frac{2GM}{R} = v_0^2 - v_2^2 = 15^2 - 11.2^2 = 225 - 125.4 = 99.6$
$v_\infty = \sqrt{99.6} \approx 10.0\,\text{km/s}$
ある惑星の半径は地球の2倍、質量は地球の8倍である。この惑星の表面における第一宇宙速度と第二宇宙速度を、地球の値 $v_1$、$v_2$ を用いて表せ。
第一宇宙速度 $= 2v_1$、第二宇宙速度 $= 2v_2$
惑星の表面重力 $g' = \dfrac{GM'}{R'^2} = \dfrac{G \cdot 8M}{(2R)^2} = \dfrac{8GM}{4R^2} = 2g$
第一宇宙速度：$v_1' = \sqrt{g'R'} = \sqrt{2g \cdot 2R} = 2\sqrt{gR} = 2v_1$
第二宇宙速度：$v_2' = \sqrt{2}\,v_1' = 2\sqrt{2}\sqrt{gR} = 2\sqrt{2gR} = 2v_2$
別解：$v_2' = \sqrt{2g'R'} = \sqrt{2 \cdot 2g \cdot 2R} = \sqrt{8gR} = 2\sqrt{2gR} = 2v_2$