ばねを縮めて手を離すと、物体が勢いよく飛び出します。縮んだばねは仕事をする能力——エネルギーをもっていたのです。
この記事では、ばねの弾性エネルギー $U = \frac{1}{2}kx^2$ を仕事の定義から導出し、なぜ $\frac{1}{2}$ がつくのか、なぜ $x^2$ なのかを理解します。
基準は常に自然長であることも、しっかり押さえましょう。
ばねを自然長から $x$ だけ伸ばす（または縮める）と、ばねは元に戻ろうとする力——弾性力 $F = -kx$（フックの法則）を発揮します。 この状態のばねは、手を離せば物体を加速させる能力をもっています。
この「ばねの変形に蓄えられたエネルギー」を弾性力による位置エネルギー（elastic potential energy）、または単に弾性エネルギーと呼びます。
重力による位置エネルギーが「高さ」で決まるように、弾性エネルギーは「自然長からのずれ $x$」で決まります。
伸びでも縮みでも、自然長からのずれが大きいほど蓄えられるエネルギーは大きくなります。これが $x^2$ に比例する理由のひとつです。
重力の位置エネルギーは「重力がこれからする仕事」の蓄えでした。 同様に、弾性エネルギーは「弾性力がこれからする仕事」の蓄えです。 どちらも保存力がする仕事から定義される量です。
重力による位置エネルギー $U = mgh$ は、力が一定（$mg$）だったので「力 × 距離」で簡単に求まりました。 しかしばねの力は $F = kx$ と変位に比例して変化するため、単純な掛け算では求められません。
ばねを自然長から $x$ だけ伸ばすとき、外力がする仕事を考えます。
ばねの変位が $x'$ のとき、ばねを伸ばすのに必要な外力は $F = kx'$ です（弾性力とつりあう力）。
横軸に変位 $x'$、縦軸に力 $F = kx'$ を取ったグラフを描くと、原点を通る傾き $k$ の直線になります。
外力がした仕事は、このグラフと $x'$ 軸で囲まれた三角形の面積に等しくなります：
$$W = \frac{1}{2} \times x \times kx = \frac{1}{2}kx^2$$
この仕事がすべて弾性エネルギーとして蓄えられるので：
$$U = \frac{1}{2}kx^2$$
微小変位 $dx'$ のときの微小仕事は $dW = kx'\,dx'$ です。$0$ から $x$ まで積分すると：
$$W = \int_0^x kx'\,dx' = k\left[\frac{x'^2}{2}\right]_0^x = \frac{1}{2}kx^2$$
グラフの面積と積分は同じ結果を与えます。積分はグラフが直線でなくても使える、より一般的な方法です。
$$U = \frac{1}{2}kx^2$$
重力のように力が一定なら、仕事は「長方形の面積」＝ 力 × 距離 です。
ばねのように力が $0$ から $kx$ まで直線的に増えるなら、仕事は「三角形の面積」＝ $\frac{1}{2} \times$ 底辺 $\times$ 高さ です。
この $\frac{1}{2}$ は暗記するものではなく、力が変化するときの仕事の計算方法から自然に出てくるものです。
「力 $kx$ × 距離 $x$」で $kx^2$ と計算してしまうのは典型的なミスです。
✕ 誤：$U = kx \times x = kx^2$
○ 正：$U = \frac{1}{2}kx^2$（力が一定ではないので、平均の力 $\frac{kx}{2}$ を使う）
ばねの力は変位に比例して $0$ から $kx$ まで変化するので、平均の力は $\frac{kx}{2}$ です。
重力の位置エネルギーでは基準点を自由に選べました。 しかし弾性エネルギーでは、基準は常に自然長の位置（$x = 0$）です。なぜでしょうか？
ばねの弾性力は、自然長の位置に向かって物体を引き戻す復元力です。 自然長の位置では弾性力が $0$ であり、ばねには変形のエネルギーが蓄えられていません。 つまり、自然長は弾性エネルギーが最小値 $0$ となる位置です。
伸びても縮んでも $x^2 > 0$ なので、$U = \frac{1}{2}kx^2 > 0$ となり、弾性エネルギーは常に $0$ 以上です。 これは重力の位置エネルギーと異なる点です（重力の場合、基準点より下では負になる）。
$x$ はばねの長さではなく、自然長からの変位です。
✕ 誤：$x = 0.30\,\text{m}$（ばねの長さ）を代入して $U = \frac{1}{2}k(0.30)^2$
○ 正：自然長が $0.20\,\text{m}$、現在の長さが $0.30\,\text{m}$ なら、$x = 0.10\,\text{m}$ を代入
「自然長からどれだけ伸びた（縮んだ）か」が $x$ です。問題文から自然長を読み取り、変位を計算してから公式に代入しましょう。
重力は「どこにあっても同じ大きさ $mg$」ですが、弾性力は「自然長からのずれ $x$ に比例」します。
重力の場合、エネルギーは高さに比例（1次関数）です。どこを基準にしても $U$ の「形」は同じで、定数がずれるだけです。
弾性力の場合、エネルギーは変位の2乗に比例（2次関数）です。自然長を基準にしないと $U = \frac{1}{2}kx^2$ という簡単な形になりません。
$U = \frac{1}{2}kx^2$ は $x$ の2乗なので、$x > 0$（伸び）でも $x < 0$（縮み）でも同じ値になります。 たとえば $x = 0.10\,\text{m}$（伸び）と $x = -0.10\,\text{m}$（縮み）では、
$$U = \frac{1}{2}k(0.10)^2 = \frac{1}{2}k(-0.10)^2 = \frac{1}{2}k \times 0.01$$
つまり同じ大きさだけ変形すれば、伸びでも縮みでも同じ弾性エネルギーが蓄えられます。
ここまでに学んだ2種類の位置エネルギーを整理しましょう。
| 重力による位置エネルギー | 弾性力による位置エネルギー | |
|---|---|---|
| 公式 | $U = mgh$ | $U = \frac{1}{2}kx^2$ |
| 変数 | 高さ $h$ | 自然長からの変位 $x$ |
| 力の特徴 | 一定（$mg$） | 変位に比例（$kx$） |
| 基準点 | 自由に選べる | 自然長（固定） |
| $U$ の符号 | 正・零・負 | 常に $0$ 以上 |
| 力の種類 | 保存力 | 保存力 |
$U = mgh$ も $U = \frac{1}{2}kx^2$ も、導出の手順は同じです。
Step 1：保存力に逆らって物体を動かすときの外力の仕事を計算する
Step 2：その仕事が位置エネルギーとして蓄えられる
力が一定なら長方形の面積、力が変化するなら三角形の面積（または積分）を使う——この違いだけです。
ばねを鉛直に吊るして物体をつける問題では、重力の位置エネルギー $mgh$ と弾性エネルギー $\frac{1}{2}kx^2$ の両方を考える必要があります。
このとき、つりあいの位置を新しい基準として変位を測り直すと計算が簡単になります。この手法は M-4-7（力学的エネルギー保存則）で詳しく扱います。
弾性エネルギーは、ばねを含む問題で不可欠な概念です。
Q1. ばね定数 $k = 200\,\text{N/m}$ のばねを自然長から $0.10\,\text{m}$ 伸ばしたときの弾性エネルギーを求めよ。
Q2. 弾性エネルギーの公式 $U = \frac{1}{2}kx^2$ において $\frac{1}{2}$ がつく理由を簡潔に述べよ。
Q3. ばねを $0.05\,\text{m}$ 縮めたときと $0.05\,\text{m}$ 伸ばしたとき、弾性エネルギーはどちらが大きいか。
Q4. 弾性エネルギーの基準点は自由に選べるか。理由とともに答えよ。
弾性力による位置エネルギーを入試形式で確認しましょう。
ばね定数 $k = 400\,\text{N/m}$ のばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $0.50\,\text{kg}$ の物体をつけて、自然長から $0.20\,\text{m}$ 縮めて手を離した。
(1) 手を離す直前の弾性エネルギーを求めよ。
(2) 自然長の位置を通過するときの物体の速さを求めよ。摩擦はないものとする。
(1) $U = 8.0\,\text{J}$
(2) $v \approx 5.7\,\text{m/s}$
(1) $U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 400 \times (0.20)^2 = \frac{1}{2} \times 400 \times 0.040 = 8.0\,\text{J}$
(2) エネルギー保存則より、弾性エネルギーがすべて運動エネルギーに変換される。
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}} = \sqrt{\frac{400 \times 0.040}{0.50}} = \sqrt{32} \approx 5.7\,\text{m/s}$
ばね定数 $k$ のばねを自然長から $x_1$ だけ伸ばした状態から、さらに $x_2$ まで伸ばした（$x_2 > x_1$）。
(1) この過程で外力がした仕事を求めよ。
(2) $x_1 = 0.10\,\text{m}$、$x_2 = 0.30\,\text{m}$、$k = 100\,\text{N/m}$ のとき、具体的な数値を求めよ。
(1) $W = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$
(2) $W = 4.0\,\text{J}$
(1) 外力がした仕事は弾性エネルギーの増加分に等しい。
$W = U_2 - U_1 = \frac{1}{2}kx_2^2 - \frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$
(2) $W = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.30^2 - 0.10^2) = 50 \times (0.09 - 0.01) = 50 \times 0.08 = 4.0\,\text{J}$
注意：$W \neq \frac{1}{2}k(x_2 - x_1)^2$ です。$0$ から伸ばすのと途中から伸ばすのでは、仕事が異なります。
水平面上でばね定数 $k = 500\,\text{N/m}$ のばねを $0.20\,\text{m}$ 縮めて質量 $1.0\,\text{kg}$ の物体を発射する。物体は滑らかな水平面を進んだ後、角度 $30°$ の滑らかな斜面を登る。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
(1) ばねから離れた直後の物体の速さを求めよ。
(2) 物体が斜面を登れる最大の高さを求めよ。
(1) $v \approx 4.5\,\text{m/s}$
(2) $h \approx 1.0\,\text{m}$
(1) エネルギー保存則：$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}} = \sqrt{\frac{500 \times 0.040}{1.0}} = \sqrt{20} \approx 4.5\,\text{m/s}$
(2) 斜面の最高点では速度が $0$ になるので、運動エネルギーがすべて重力の位置エネルギーに変換される。
$\frac{1}{2}kx^2 = mgh$
$h = \frac{kx^2}{2mg} = \frac{500 \times 0.040}{2 \times 1.0 \times 9.8} = \frac{20}{19.6} \approx 1.0\,\text{m}$
斜面の角度は最高到達高さに影響しない（摩擦がない場合）。斜面に沿った距離は $\frac{h}{\sin 30°} = 2.0\,\text{m}$ だが、問われているのは高さ。