剛体のつりあいでは、重力がどこに作用するかが決定的に重要でした。
その作用点が重心です。一様な棒なら中央、ですが形が複雑になったらどうでしょう？
ここでは、重心の定義から具体的な計算方法まで、段階的に学びます。
重心とは、物体の各部分にはたらく重力の合力が作用する点です。 物体を重心で支えると、重力によるモーメントの合計が0になるため、物体はつりあいます。
重心とは、その点まわりの重力によるモーメントの合計がゼロになる点です。
数学的に言えば、物体の質量分布の「加重平均の位置」です。重心の位置は物体の形状と質量分布だけで決まり、重力加速度 $g$ の大きさによりません。
$n$ 個の質点（質量 $m_1, m_2, \ldots, m_n$、位置 $x_1, x_2, \ldots, x_n$）の重心の $x$ 座標：
$$x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \cdots + m_n x_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}$$
$y$ 座標も同様に：
$$y_G = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}$$
ドーナツ型やU字型の物体では、重心が物体の外部に位置することがあります。
✕ 誤：重心は必ず物体の内部にある
○ 正：重心は質量分布の加重平均の位置であり、物体の外部にあることもある
最も基本的な場合として、2つの質点の重心を求めましょう。 質量 $m_1$ の質点が位置 $x_1$、質量 $m_2$ の質点が位置 $x_2$ にあるとき、
$$x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$$
2つの質点の重心は、2点を結ぶ線分を質量の逆比 $m_2 : m_1$ に内分する点です。
$m_1$ の位置を原点（$x_1 = 0$）とし、$m_2$ は $x_2 = d$（距離 $d$）にあるとする。
$$x_G = \frac{m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot d}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$$
$m_1$ から重心までの距離：$x_G = \dfrac{m_2}{m_1 + m_2} \cdot d$
$m_2$ から重心までの距離：$d - x_G = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot d$
比をとると $x_G : (d - x_G) = m_2 : m_1$。つまり質量の逆比に内分する。
シーソーの支点（ちょうどつりあう位置）が重心です。重い人が乗っている方に支点を近づける必要がある——これが「質量の逆比に内分」の直感的な意味です。
$m_1 = m_2$ なら重心はちょうど中央。$m_1 = 3m_2$ なら重心は $m_1$ 側に $3/4$ のところにあります。
一様な物体（密度が均一な物体）では、重心は幾何学的な中心（図心）と一致します。
| 図形 | 重心の位置 |
|---|---|
| 一様な棒 | 中央 |
| 長方形 | 対角線の交点（中心） |
| 三角形 | 各頂点と対辺の中点を結ぶ線（中線）の交点。各頂点から $\frac{2}{3}$ の位置 |
| 円板 | 中心 |
| 半円板 | 中心から $\dfrac{4r}{3\pi}$ の位置（直径から） |
物体に対称軸があれば、重心は必ずその軸上にあります。2つの対称軸があれば、その交点が重心です。
まず対称性を確認して、重心の候補を絞ってから計算に入りましょう。計算量が大幅に減ります。
一様な三角形の重心は、3つの頂点の座標の平均です。 頂点 A$(x_1, y_1)$、B$(x_2, y_2)$、C$(x_3, y_3)$ のとき、
$$x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$$
三角形の重心は中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線分）上にありますが、中点ではありません。
✕ 誤：重心は中線の中点にある（$\frac{1}{2}$ の位置）
○ 正：重心は頂点から中線の $\frac{2}{3}$ の位置（対辺の中点から $\frac{1}{3}$）
複雑な形状の物体は、単純な部分に分割してそれぞれの重心を求め、それらを「質点」として扱って全体の重心を計算します。
一様な L 字型の平板を長方形 A（質量 $m_A$、重心 $(x_A, y_A)$）と長方形 B（質量 $m_B$、重心 $(x_B, y_B)$）に分割する。
全体の重心：
$$x_G = \frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A + m_B}, \quad y_G = \frac{m_A y_A + m_B y_B}{m_A + m_B}$$
一様な板では質量は面積に比例するので、$m_A = \rho S_A$、$m_B = \rho S_B$（$\rho$：面密度）。$\rho$ は約分されるので面積で置き換えられる。
$$x_G = \frac{S_A x_A + S_B x_B}{S_A + S_B}$$
穴の開いた物体の重心は、穴のない元の形から穴の部分を「負の質量」として引く方法（くり抜き法）で求められます。
全体（穴なし）の質量 $m_{\text{全}}$、重心 $x_{\text{全}}$ から、穴の部分の質量 $m_{\text{穴}}$、重心 $x_{\text{穴}}$ を引く：
$$x_G = \frac{m_{\text{全}} \cdot x_{\text{全}} - m_{\text{穴}} \cdot x_{\text{穴}}}{m_{\text{全}} - m_{\text{穴}}}$$
元の物体（穴なし）＝穴の開いた物体＋穴の部分 と考えます。
$m_{\text{全}} \cdot x_{\text{全}} = (m_{\text{全}} - m_{\text{穴}}) \cdot x_G + m_{\text{穴}} \cdot x_{\text{穴}}$
これを $x_G$ について解くと、くり抜き法の公式が得られます。重心の「加法性」を使った方法です。
重心の計算では座標系を必ず設定する必要があります。
✕ 誤：座標を設定せずに「右寄り」「左寄り」と感覚で答える
○ 正：原点を明示し、各部分の重心の座標を数値で求める
原点はどこに取っても結果は同じですが、対称軸上や物体の端に取ると計算が楽になります。
重心は剛体の力学において最も基本的な概念の一つです。
Q1. 質量 $3.0\,\text{kg}$ の物体 A が原点に、質量 $1.0\,\text{kg}$ の物体 B が $x = 8.0\,\text{m}$ の位置にあるとき、重心の $x$ 座標はいくらですか。
Q2. 一様な三角形の重心は、中線上のどの位置にありますか。
Q3. 重心が物体の外部に位置する例を1つ挙げてください。
Q4. 穴の開いた一様な板の重心を求めるとき、「くり抜き法」ではどのように計算しますか。
重心の計算を入試形式で確認しましょう。
質量 $2.0\,\text{kg}$ の物体 A を原点 O に、質量 $6.0\,\text{kg}$ の物体 B を $x = 4.0\,\text{m}$ の位置に置く。
(1) 2物体の重心の位置を求めよ。
(2) 物体 A を原点のまま、物体 B を $x = 8.0\,\text{m}$ に移動させたとき、重心はどれだけ移動するか。
(1) $x_G = 3.0\,\text{m}$
(2) $3.0\,\text{m}$（$x_G = 6.0\,\text{m}$ に移動）
(1) $x_G = \dfrac{2.0 \times 0 + 6.0 \times 4.0}{2.0 + 6.0} = \dfrac{24.0}{8.0} = 3.0\,\text{m}$
(2) $x_G' = \dfrac{2.0 \times 0 + 6.0 \times 8.0}{2.0 + 6.0} = \dfrac{48.0}{8.0} = 6.0\,\text{m}$
移動量：$6.0 - 3.0 = 3.0\,\text{m}$
一様な密度の L 字型の平板がある。L 字は、横 $6.0\,\text{cm}$ × 縦 $2.0\,\text{cm}$ の長方形 A と、横 $2.0\,\text{cm}$ × 縦 $4.0\,\text{cm}$ の長方形 B を、A の左端上辺と B の左端下辺が一致するように組み合わせたものとする。A の左下端を原点として、重心の座標を求めよ。
$(x_G,\, y_G) = (2.2\,\text{cm},\, 2.0\,\text{cm})$
長方形 A：面積 $S_A = 6.0 \times 2.0 = 12\,\text{cm}^2$、重心 $(3.0,\, 1.0)$
長方形 B：面積 $S_B = 2.0 \times 4.0 = 8.0\,\text{cm}^2$、重心 $(1.0,\, 2.0 + 2.0) = (1.0,\, 4.0)$
$x_G = \dfrac{12 \times 3.0 + 8.0 \times 1.0}{12 + 8.0} = \dfrac{36 + 8.0}{20} = \dfrac{44}{20} = 2.2\,\text{cm}$
$y_G = \dfrac{12 \times 1.0 + 8.0 \times 4.0}{12 + 8.0} = \dfrac{12 + 32}{20} = \dfrac{44}{20} = 2.2\,\text{cm}$
（注：B の重心の $y$ 座標は A の上辺 $y = 2.0$ から B の高さの半分 $2.0$ を加えた $4.0\,\text{cm}$ となる）
半径 $R$ の一様な円板の中心から $\dfrac{R}{2}$ だけ離れた位置に、半径 $\dfrac{R}{4}$ の円形の穴を開けた。穴を開けた後の板の重心は、元の円板の中心からどれだけ離れているか求めよ。
元の中心から $\dfrac{R}{30}$ だけ穴と反対側にずれる
元の円板の中心を原点とし、穴の中心の方向を $x$ 正方向とする。
全体（穴なし）：面積 $\pi R^2$、重心 $x_{\text{全}} = 0$
穴の部分：面積 $\pi \left(\frac{R}{4}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{16}$、重心 $x_{\text{穴}} = \frac{R}{2}$
くり抜き法：
$$x_G = \frac{\pi R^2 \cdot 0 - \frac{\pi R^2}{16} \cdot \frac{R}{2}}{\pi R^2 - \frac{\pi R^2}{16}} = \frac{-\frac{R}{32}}{\frac{15}{16}} = -\frac{R}{32} \times \frac{16}{15} = -\frac{R}{30}$$
負号は穴と反対方向を意味する。元の中心から $\dfrac{R}{30}$ だけ穴と反対側にずれる。