救急車が近づいてくるとサイレンが高く聞こえ、遠ざかると低く聞こえる──この身近な現象がドップラー効果です。
まずは最もシンプルな場合、音源だけが動く場合を考え、観測される振動数がどう変わるかを導きましょう。
ドップラー効果とは、波源と観測者の間に相対運動があるとき、観測される波の振動数が変化する現象です。
音源が発する振動数を $f$、音速を $V$ とします。音源が静止しているときの波長は $\lambda = V/f$ です。 音源が動くと、波面の間隔（波長）が変化するため、観測される振動数が変わります。
音源が動く場合のドップラー効果の核心は、音源の移動によって媒質中の波長が変わることです。
音源が観測者に近づくと波長が縮み、遠ざかると波長が伸びます。一方、音速 $V$ は媒質の性質で決まるため変化しません。$f' = V/\lambda'$ なので、波長が変われば観測振動数も変わります。
音源が速さ $v_s$ で観測者に近づく場合を考えます。観測者は静止しています。
音源は振動数 $f$ で音を出しながら、速さ $v_s$ で観測者に向かって進みます。
音源が1周期 $T = 1/f$ の間に進む距離は $v_s T = v_s / f$ です。
この間に発した音波の先頭は $VT = V/f$ だけ前方に進んでいます。
したがって、観測者側の波長は
$$\lambda' = VT - v_s T = (V - v_s) \cdot \frac{1}{f} = \frac{V - v_s}{f}$$
音速は変わらないので、観測される振動数は
$$f' = \frac{V}{\lambda'} = \frac{V}{\dfrac{V - v_s}{f}} = f \cdot \frac{V}{V - v_s}$$
$$f' = f \cdot \frac{V}{V - v_s}$$
$V - v_s < V$ なので $f' > f$（振動数が高くなる＝音が高く聞こえる）
直感的には、音源が波を「追いかける」ように進むため、前方では波面の間隔が狭まり、波長が短くなります。 波長が短い＝振動数が高い＝音が高く聞こえるのです。
音源が速さ $v_s$ で観測者から遠ざかる場合、音源は波を出した後に後退するため、波長が伸びます。
$$f' = f \cdot \frac{V}{V + v_s}$$
$V + v_s > V$ なので $f' < f$（振動数が低くなる＝音が低く聞こえる）
音源が動く場合の公式は分母が変化します。
✕ 誤：近づくとき $V + v_s$、遠ざかるとき $V - v_s$
○ 正：近づくとき $V - v_s$（分母が小さくなる→$f'$ 増加）、遠ざかるとき $V + v_s$（分母が大きくなる→$f'$ 減少）
覚え方：音源が近づくと波が「圧縮」される（分母が小さい）。遠ざかると「引き伸ばされる」（分母が大きい）。
音源が動く場合のドップラー効果は、次の一つの式にまとめられます。
$$f' = f \cdot \frac{V}{V - v_s}$$
$v_s$ の符号の約束：音源→観測者の方向を正とする
$v_s \to V$ のとき $f' \to \infty$ です。これは音源の前方に出した波面がすべて一点に重なることを意味し、衝撃波（ソニックブーム）が発生します。
$v_s > V$（超音速）では、音源は自分が出した音よりも先に進んでいます。この場合は通常のドップラー効果の公式は適用できません（マッハコーンが形成されます）。
音源が動く場合のドップラー効果は、媒質中の波長が変化することが本質です。音速は媒質の性質なので変わりません。
次の記事で扱う「観測者が動く場合」は、全く異なるメカニズムで振動数が変わります。両者を混同しないことが重要です。
ドップラー効果は波動の中でも特に入試頻出のテーマです。音源が動く場合は最も基本的な出発点です。
Q1. 音源が観測者に近づくとき、観測される振動数は高くなりますか、低くなりますか。
Q2. 音源が速さ $v_s$ で近づくとき、観測者が受け取る振動数の公式を書いてください。
Q3. 音源が動く場合、音速は変化しますか。
Q4. 音源が音速に等しい速さで近づくとき、観測振動数はどうなりますか。
音源が動く場合のドップラー効果を入試形式で確認しましょう。
振動数 $f = 500\,\text{Hz}$ のサイレンを鳴らしながら、救急車が速さ $v_s = 20\,\text{m/s}$ で静止した観測者に近づいている。音速を $V = 340\,\text{m/s}$ として、観測者が聞く音の振動数を求めよ。
$f' \approx 531\,\text{Hz}$
音源が近づく場合の公式を使います。
$$f' = f \cdot \frac{V}{V - v_s} = 500 \times \frac{340}{340 - 20} = 500 \times \frac{340}{320} \approx 531\,\text{Hz}$$
元の $500\,\text{Hz}$ より高い音に聞こえます。
上の救急車が観測者を通過し、速さ $v_s = 20\,\text{m/s}$ で遠ざかっている場合、観測者が聞く音の振動数を求めよ。
$f' \approx 472\,\text{Hz}$
音源が遠ざかる場合の公式を使います。
$$f' = f \cdot \frac{V}{V + v_s} = 500 \times \frac{340}{340 + 20} = 500 \times \frac{340}{360} \approx 472\,\text{Hz}$$
近づくとき（$531\,\text{Hz}$）と遠ざかるとき（$472\,\text{Hz}$）の差は $59\,\text{Hz}$。これが「サイレンの音が変わる」体験の正体です。
振動数 $800\,\text{Hz}$ の音源が速さ $v_s = 34\,\text{m/s}$ で静止した観測者に近づいている。音速を $V = 340\,\text{m/s}$ とする。
(1) 観測者の前方での波長を求めよ。
(2) 観測者が聞く振動数を求めよ。
(3) 音源の後方での波長と、そこで観測される振動数を求めよ。
(1) $\lambda' = 0.383\,\text{m}$
(2) $f' \approx 889\,\text{Hz}$
(3) $\lambda'' = 0.468\,\text{m}$、$f'' \approx 727\,\text{Hz}$
(1) 前方の波長：$\lambda' = \dfrac{V - v_s}{f} = \dfrac{340 - 34}{800} = \dfrac{306}{800} = 0.383\,\text{m}$
(2) $f' = V/\lambda' = 340/0.383 \approx 889\,\text{Hz}$
(3) 後方の波長：$\lambda'' = \dfrac{V + v_s}{f} = \dfrac{340 + 34}{800} = \dfrac{374}{800} = 0.468\,\text{m}$
$f'' = V/\lambda'' = 340/0.468 \approx 727\,\text{Hz}$
静止した観測者が、近づいてくる救急車のサイレンの振動数を $f_1 = 550\,\text{Hz}$ と聞き、通過後に遠ざかるサイレンの振動数を $f_2 = 450\,\text{Hz}$ と聞いた。音速を $V = 340\,\text{m/s}$ として、次の問いに答えよ。
(1) サイレンの本来の振動数 $f$ と救急車の速さ $v_s$ を求めよ。
(2) 近づくときと遠ざかるときで観測振動数の変化が対称でない（$550 - f \neq f - 450$）理由を説明せよ。
(1) $f \approx 495\,\text{Hz}$、$v_s \approx 34\,\text{m/s}$
(2) ドップラー効果の公式は $v_s$ に対して非線形（分母にある）なので、近づく場合と遠ざかる場合で振動数の変化量は等しくならない。
(1) 近づくとき：$f_1 = f \cdot \dfrac{V}{V - v_s}$ …①
遠ざかるとき：$f_2 = f \cdot \dfrac{V}{V + v_s}$ …②
①÷②：$\dfrac{f_1}{f_2} = \dfrac{V + v_s}{V - v_s}$
$\dfrac{550}{450} = \dfrac{340 + v_s}{340 - v_s}$
$\dfrac{11}{9} = \dfrac{340 + v_s}{340 - v_s}$
$11(340 - v_s) = 9(340 + v_s)$
$3740 - 11v_s = 3060 + 9v_s$
$680 = 20v_s$ → $v_s = 34\,\text{m/s}$
①に代入：$f = f_1 \cdot \dfrac{V - v_s}{V} = 550 \times \dfrac{306}{340} = 495\,\text{Hz}$
(2) $f' = fV/(V \mp v_s)$ は $v_s$ の1次式ではなく分数式なので、$+v_s$ と $-v_s$ での変化量が等しくなりません。近づく場合の方が変化量が大きいのです。