音源が動く場合と観測者が動く場合を個別に学んできました。
実際の問題では音源と観測者の両方が動く場合が大半です。ここで2つの効果を組み合わせた統一公式を完成させましょう。
音源と観測者の両方が動く場合は、2段階で考えます。
Step 1：音源の移動による波長の変化
音源が速さ $v_s$ で観測者に近づく場合、媒質中の波長は
$$\lambda' = \frac{V - v_s}{f}$$
Step 2：観測者の移動による相対速度の変化
観測者が速さ $v_o$ で音源に近づく場合、相対速度は $V + v_o$
観測振動数は
$$f' = \frac{V + v_o}{\lambda'} = \frac{V + v_o}{\dfrac{V - v_s}{f}} = f \cdot \frac{V + v_o}{V - v_s}$$
$$\boxed{f' = f \cdot \frac{V + v_o}{V - v_s}}$$
$f$：音源の振動数、$V$：音速、$v_s$：音源の速さ、$v_o$：観測者の速さ
統一公式の構造を覚えましょう：分子に観測者の速さ、分母に音源の速さが入ります。
分子（$V + v_o$）：観測者が波面を「拾う」相対速度
分母（$V - v_s$）：音源の移動で変化した波長に対応
$f'$ が大きくなる（高い音）のは、分子が大きくなるか分母が小さくなるとき、つまり近づくときです。
統一公式で最も重要なのは符号の決め方です。2つの方法があります。
音源から観測者に向かう方向を正と定めます。
公式：$f' = f(V + v_o)/(V - v_s)$ にそのまま代入。
$v_s$, $v_o$ を速さ（正の値）として、近づく/遠ざかるで式を変える方法です。
ドップラー効果で最も多いミスは符号の取り違えです。
✕ 誤：「近づく」のに分母を $V + v_s$ にしてしまう
○ 正：結果の検算をする。近づくなら $f' > f$、遠ざかるなら $f' < f$ になるはず
必ず結果を検算しましょう。近づくのに振動数が下がったら符号を間違えています。
「近づくと高くなる」ことを基準にすると、次のように覚えられます。
$f'$ を大きくするには → 分子を大きく、分母を小さくする → 近づく側は「足す（分子）」「引く（分母）」
つまり「近づく＝分子に＋、分母にー」「遠ざかる＝分子にー、分母に＋」です。
音源（$f = 600\,\text{Hz}$）が速さ $v_s = 20\,\text{m/s}$ で観測者に近づき、観測者は速さ $v_o = 10\,\text{m/s}$ で音源に近づいている。$V = 340\,\text{m/s}$。
$$f' = 600 \times \frac{340 + 10}{340 - 20} = 600 \times \frac{350}{320} = 656\,\text{Hz}$$
互いに近づいているので $f' > f$ になっています。整合的です。
統一公式が、これまでの個別ケースを正しく再現することを確認しましょう。
| ケース | 条件 | 公式 |
|---|---|---|
| 音源のみ近づく | $v_o = 0$ | $f' = fV/(V - v_s)$ |
| 音源のみ遠ざかる | $v_o = 0$, $v_s < 0$ | $f' = fV/(V + |v_s|)$ |
| 観測者のみ近づく | $v_s = 0$ | $f' = f(V + v_o)/V$ |
| 観測者のみ遠ざかる | $v_s = 0$, $v_o < 0$ | $f' = f(V - |v_o|)/V$ |
| 同じ方向・同じ速さ | $v_s = v_o = v$ | $f' = f(V + v)/(V - v) \neq f$ |
音源と観測者が同じ速さで同じ方向に動く場合、相対速度はゼロですが、観測振動数は元の振動数と一致しません。
✕ 誤：相対速度がゼロだから $f' = f$
○ 正：$f' = f(V - v)/(V - v) = f$...ではなく、同じ方向の場合を正しく設定する必要がある
音源が観測者を追いかける場合：$v_s = v$（観測者に近づく）、$v_o = -v$（音源から遠ざかる方向に走るのではなく同方向）。実際に $f' = f(V - v)/(V - v) = f$ で一致します。
方向の設定を正しくすることが重要です。
統一公式 $f' = f(V + v_o)/(V - v_s)$ は、分母が「音源移動による波長変化」、分子が「観測者移動による相対速度変化」をそれぞれ表しています。
2つの効果は独立しており、それらを掛け合わせた（合成した）ものが統一公式です。
統一公式はドップラー効果のすべての問題の出発点です。壁の反射問題も、この公式を2回適用して解きます。
Q1. ドップラー効果の統一公式を書いてください。
Q2. 統一公式の分子は何を表し、分母は何を表しますか。
Q3. 音源と観測者が互いに遠ざかるとき、$v_s$, $v_o$ の符号はどうなりますか。
Q4. 音源のみ近づく場合、統一公式はどの式に帰着しますか。
統一公式を入試形式で使いこなしましょう。
音源（$f = 800\,\text{Hz}$）が速さ $v_s = 30\,\text{m/s}$ で観測者に近づき、観測者は速さ $v_o = 15\,\text{m/s}$ で音源に近づいている。音速 $V = 340\,\text{m/s}$ として、観測者が聞く振動数を求めよ。
$f' \approx 916\,\text{Hz}$
$$f' = f \cdot \frac{V + v_o}{V - v_s} = 800 \times \frac{340 + 15}{340 - 30} = 800 \times \frac{355}{310} \approx 916\,\text{Hz}$$
互いに近づいているので $f' > f$。整合的です。
音源（$f = 500\,\text{Hz}$）が速さ $20\,\text{m/s}$ で観測者から遠ざかり、観測者も速さ $10\,\text{m/s}$ で音源から遠ざかっている。$V = 340\,\text{m/s}$ として、観測者が聞く振動数を求めよ。
$f' \approx 458\,\text{Hz}$
「音源→観測者方向を正」とすると、音源は遠ざかるので $v_s = -20$、観測者も遠ざかるので $v_o = -10$。
$$f' = 500 \times \frac{340 + (-10)}{340 - (-20)} = 500 \times \frac{330}{360} \approx 458\,\text{Hz}$$
互いに遠ざかっているので $f' < f$。整合的です。
音源（$f = 1000\,\text{Hz}$）が速さ $v_s = 40\,\text{m/s}$ で右に走り、観測者が速さ $v_o = 20\,\text{m/s}$ で右に走っている（音源は観測者の後方にいる）。音速 $V = 340\,\text{m/s}$ として、観測者が聞く振動数を求めよ。
$f' \approx 1067\,\text{Hz}$
音源は観測者の後方にいて右に走っている → 音源は観測者に近づく → $v_s = +40$
観測者は右に走っている → 音源から遠ざかる → $v_o = -20$
$$f' = 1000 \times \frac{340 + (-20)}{340 - 40} = 1000 \times \frac{320}{300} \approx 1067\,\text{Hz}$$
音源の方が速いので差は縮まる → $f' > f$。整合的。
直線道路上で、音源（$f = 600\,\text{Hz}$）が速さ $v_s = 20\,\text{m/s}$、観測者が速さ $v_o = 10\,\text{m/s}$ で同じ方向に走っている。音速 $V = 340\,\text{m/s}$ とする。
(1) 音源が前方、観測者が後方の場合（音源が逃げる）の観測振動数を求めよ。
(2) 音源が後方、観測者が前方の場合（音源が追いかける）の観測振動数を求めよ。
(3) (1) と (2) で振動数が異なる理由を物理的に説明せよ。
(1) $f' \approx 550\,\text{Hz}$
(2) $f' \approx 619\,\text{Hz}$
(1) 音源が前方（逃げる）：音源は観測者から遠ざかる → $v_s = -20$、観測者は音源に近づく → $v_o = +10$
$$f' = 600 \times \frac{340 + 10}{340 - (-20)} = 600 \times \frac{350}{360} \approx 583\,\text{Hz}$$
...実は方向の設定を再確認します。「音源→観測者方向を正」で、音源が前を走っていて観測者が後ろ → 音源→観測者は後方なので正方向は後方。音源は前方（正と逆方向）に走る → $v_s < 0$、観測者は前方に走る → 音源に近づく → $v_o > 0$。
$f' = 600 \times \dfrac{340 + 10}{340 + 20} = 600 \times \dfrac{350}{360} \approx 583\,\text{Hz}$
(2) 音源が後方（追いかける）：音源→観測者は前方が正方向。音源は前方に走る → $v_s = +20$、観測者も前方に走る → 音源から遠ざかる → $v_o = -10$
$f' = 600 \times \dfrac{340 - 10}{340 - 20} = 600 \times \dfrac{330}{320} \approx 619\,\text{Hz}$
(3) (1) では音源が逃げるので波長が伸び振動数が下がる。(2) では音源が追いかけるので波長が縮み振動数が上がる。観測者の走る方向は同じでも、音源の位置関係が変わると波長が変わるため結果が異なる。